"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Простые числа — это натуральные числа больше 1, у которых есть только два делителя: 1 и само число. Они помогают описывать, на какие части можно разделить число без остатка, и служат основой для разложения чисел на простые множители. Чтобы отличить простое число от составного, нужно исследовать его делители. Число 1 стоит особняком: у него только один делитель, поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 12 делится без остатка на 3, значит, 3 — его делитель. Проверка делителей помогает понять, можно ли разделить число на равные группы без остатка.
Простое число — натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само число. Например, делители числа 7 — это 1 и 7, поэтому 7 простое. Такое определение позволяет отличить числа, которые нельзя разделить без остатка ни на какое другое натуральное число, кроме 1 и себя.
Составное число — натуральное число больше 1, у которого больше двух делителей. Например, у числа 8 есть делители 1, 2, 4 и 8. Дополнительные делители показывают, что число можно разделить без остатка не только на 1 и на себя.
Число 1 имеет только один делитель — 1, поэтому оно не является ни простым, ни составным. Для простого числа нужны ровно два делителя, а для составного — больше двух. Это пояснение нужно помнить, чтобы не включать 1 ни в одну из этих групп.
Чтобы найти делители числа, проверяют, на какие натуральные числа оно делится без остатка. Например, для 12 подойдут 1 и 12, а также 2 и 6, 3 и 4. Пары дают все делители: если число делится на 2, то есть и второй делитель, 6, потому что 2 × 6 = 12.
У чисел 2, 3, 5 и 7 ровно два делителя: 1 и само число. Например, 5 не делится без остатка ни на 2, ни на 3, ни на 4, поэтому между 1 и 5 нет дополнительных делителей. Для остальных трёх чисел проверка устроена так же: ни одно натуральное число между 1 и ними не делит их без остатка.
У 4, 6 и 9 есть дополнительные делители. Число 4 делится на 2, число 6 — на 2 и 3, а число 9 — на 3; в каждом случае эти делители отличаются и от 1, и от самого числа. Значит, у каждого числа больше двух делителей, поэтому все три числа составные.
Число 2 — единственное чётное простое число. Чётное число делится на 2 без остатка, а если оно больше 2, то 2 — дополнительный делитель, отличный от 1 и самого числа. У числа 2 такого дополнительного делителя нет: его делители только 1 и 2.
Проверяя простоту числа, сначала отдельно выясняют, больше ли оно 1: число 1 не простое. Затем перебирают натуральные числа от 2 до числа, уменьшенного на 1, и проверяют деление без остатка. Если нашёлся хотя бы один делитель, число составное; если не нашёлся ни один, число простое, потому что его делители — только 1 и оно само.
| Вид числа | Сколько делителей | Примеры | Особенности |
|---|---|---|---|
| Простое число | Ровно два | 2, 3, 5, 7 | Делители — 1 и само число |
| Составное число | Больше двух | 4, 6, 9 | Есть делители, кроме 1 и самого числа |
| Число 1 | Один | 1 | Не является ни простым, ни составным |
Сначала найди все делители числа, а потом посчитай их: так ты без догадок определишь его вид. Сравни количество с таблицей: два делителя означают простое число, больше двух — составное. Если делитель только один, перед тобой число 1.
Нужно проверить, делится ли 11 без остатка на натуральные числа, кроме 1 и самого 11. Числа 1 и 11 сразу включаем в список делителей, потому что любое натуральное число больше 1 делится на них. Теперь проверим возможные дополнительные делители.
Дополнительных делителей не нашлось, поэтому делители 11 — только 1 и 11. По определению число с ровно двумя делителями является простым. Ответ: 11 — простое число.
Переберём натуральные числа, начиная с 1, и проверим деление 18 без остатка. Когда число делится на найденный делитель, можно сразу записать и второй делитель из пары. Так мы не пропустим делители и сможем посчитать их количество.
Получились делители 1, 2, 3, 6, 9 и 18 — всего шесть. Это больше двух, значит, число составное. Ответ: делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; 18 — составное число.
Число 1 не включаем: у него только один делитель. Для каждого числа больше 1 ищем делители, кроме 1 и самого числа; если найден хотя бы один, число составное. Например, 15 сразу исключаем, потому что оно делится на 3 и 5.
После проверки останутся числа, у которых нет дополнительных делителей. Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 1 в список не входит, а каждое из перечисленных чисел имеет ровно два делителя.
Ошибка: считать 1 простым числом. Так думают, потому что 1 делится на себя, но у простого числа должны быть два разных делителя — 1 и само число. Проверь количество: у 1 делитель только один, поэтому она не простая и не составная.
Ошибка: считать любое нечётное число простым. Нечётность говорит лишь о том, что число не делится на 2, но у него могут быть другие делители. Например, 9 нечётное и делится на 3; для проверки ищи делители помимо 1 и самого числа.
Ошибка: не включать 1 и само число в список делителей. Иногда ищут только дополнительные делители и забывают, что 1 и само число делят любое натуральное число больше 1 без остатка. Проверь список: в нём обязательно должны быть оба числа, а уже затем считай дополнительные.
Ошибка: объявлять число составным после проверки только одного возможного делителя. Если деления без остатка не получилось, это ещё не доказывает, что других делителей нет. Продолжай проверку или найди хотя бы один дополнительный делитель; составному числу достаточно такого делителя, а простому нужно подтвердить отсутствие всех дополнительных делителей.
До изучения простых чисел нужно уметь делить с остатком и понимать, когда деление выполняется без остатка. Это помогает проверять, является ли одно натуральное число делителем другого. Позже делители понадобятся при разложении чисел на простые множители: составное число можно представить как произведение простых. Они также нужны для поиска общего делителя нескольких чисел.
Почему число 1 не считается простым?
У числа 1 только один делитель — само число 1. А у простого числа должно быть ровно два разных делителя: 1 и само число.
Может ли чётное число быть простым?
Да, это число 2: его делители — только 1 и 2. Любое другое чётное число делится ещё и на 2, поэтому имеет больше двух делителей.
Как проверить, является ли число простым?
Сначала проверь, что число больше 1, затем ищи, делится ли оно без остатка на числа между 1 и самим числом. Если таких делителей нет, число простое; если есть хотя бы один, оно составное.
Все ли нечётные числа простые?
Нет. Например, 9 — нечётное, но делится на 3, поэтому его делители — 1, 3 и 9. У него больше двух делителей, значит, оно составное.
Почему число 2 — единственное чётное простое число?
Число 2 делится только на 1 и на 2, поэтому оно простое. Любое чётное число больше 2 делится на 2, а значит, кроме 1 и самого числа у него есть ещё один делитель.
21. Простые числа
