22. Делимость суммы и произведения

Определения и обозначения

Число d называют делителем числа a, если a делится на d без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Это понятие помогает находить общие свойства чисел и проверять, можно ли применить правила делимости.

Число a называют кратным числа d, если a можно записать как произведение d на целое число: a = d · k. Например, 20 — кратное 4, так как 20 = 4 · 5. Делитель и кратное связаны: если одно число делит другое, то второе является его кратным.

Сумма делится на данное число, если результат сложения делится на него без остатка. Например, сумма 12 + 8 = 20 делится на 4. Это свойство позволяет рассуждать о сумме, не обязательно сначала вычисляя её значение.

Произведение делится на данное число, если результат умножения делится на него без остатка. Например, 6 · 7 делится на 3, потому что один из множителей, 6, делится на 3. Такое понятие пригодится, когда выражение записано как произведение чисел.

Как это устроено

Пусть два числа делятся на один и тот же делитель d. Тогда первое можно записать как d · k, а второе — как d · m, где k и m — целые числа. Их сумма равна d · k + d · m, то есть d · (k + m). В скобках получилось целое число, поэтому сумма представлена как произведение d на целое число и делится на d.

С разностью рассуждение такое же: из d · k вычитаем d · m и получаем d · (k − m). Разность скобок остаётся целым числом, значит, весь результат делится на d. Например, 35 и 20 делятся на 5, поэтому их разность 15 тоже делится на 5. Для применения правила оба исходных числа должны иметь общий делитель.

Если один множитель делится на d, его можно представить как d · k. Пусть произведение имеет вид (d · k) · b, где b — другой множитель. Переставив скобки, получим d · (k · b), а k · b — целое число. Поэтому произведение делится на d, даже если второй множитель на d не делится.

Правило суммы можно применять не только к двум, но и к нескольким слагаемым: каждое из них должно делиться на одно и то же число. Например, 12 + 18 + 30 делится на 6, потому что 12, 18 и 30 делятся на 6. Каждое слагаемое можно записать как произведение 6 на целое число, а сумма таких произведений тоже содержит множитель 6.

Обратный вывод делать нельзя: из того, что сумма делится на число, не следует, что каждое слагаемое делится на него. Например, 8 + 4 = 12, а 12 делится на 6, хотя 8 и 4 по отдельности на 6 не делятся. Слагаемые могут вместе дать число, которое делится на выбранный делитель, даже если каждое слагаемое этому условию не отвечает.

Делимость суммы, разности и произведения

В таблице собраны условия, при которых можно сделать вывод о делимости. Сначала найди нужное выражение, затем проверь, выполнено ли условие во втором столбце. Если оно выполнено, вывод в третьем столбце можно применять к своему примеру.

Разбор задач

Задача. Докажите, что 84 + 36 делится на 12. Нужно обосновать делимость суммы, поэтому сначала проверим условие правила для каждого слагаемого. Вычислять сумму целиком необязательно: достаточно представить оба числа как кратные 12.

1. Проверим первое слагаемое: 84 = 12 · 7, значит, 84 делится на 12.
2. Проверим второе слагаемое: 36 = 12 · 3, значит, 36 тоже делится на 12.
3. Оба слагаемых делятся на 12, поэтому по правилу делимости суммы 84 + 36 делится на 12.

Ответ: сумма делится на 12. Мы применили правило к обоим слагаемым, а не только к одному из них. Проверка деления каждого числа на 12 подтверждает, что условие выполнено.

Задача. Известно, что 45 делится на 9. Докажите, что 45 · 17 делится на 9. Здесь дано произведение, и один из его множителей уже известен как число, делящееся на 9. Значит, подходит правило делимости произведения.

1. Выделим множитель 45: по условию 45 = 9 · 5.
2. Подставим эту запись в произведение: 45 · 17 = (9 · 5) · 17.
3. Сгруппируем множители: 45 · 17 = 9 · (5 · 17). Выражение в скобках — целое число, значит, произведение кратно 9.

Ответ: 45 · 17 делится на 9. Мы не обязаны перемножать числа, чтобы доказать делимость. Достаточно увидеть, что множитель 9 входит в запись произведения.

Задача. Докажите, что 18 · 25 + 18 · 7 делится на 18, не вычисляя значение выражения. Выражение является суммой двух произведений, и в каждом есть множитель 18. Поэтому можно рассуждать о делимости каждого слагаемого отдельно или вынести общий множитель.

1. В произведении 18 · 25 множитель 18 делится на 18, значит, всё произведение делится на 18.
2. В произведении 18 · 7 тоже есть множитель 18, поэтому это произведение также делится на 18.
3. Оба слагаемых делятся на 18, следовательно, по правилу делимости суммы делится и их сумма.

Ответ: выражение делится на 18. Можно увидеть то же самое, вынеся общий множитель: 18 · 25 + 18 · 7 = 18 · (25 + 7). Получилась запись произведения с множителем 18, и вычислять значение в скобках для доказательства не требуется.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сумма делится на число, если делится только одно слагаемое. Так думают, перенося правило для произведения на сложение, но для суммы оно требует делимости каждого слагаемого. Проверь каждое слагаемое по отдельности; например, 12 + 5 не делится на 6, хотя 12 делится на 6.

Ошибка: делать вывод, что каждое слагаемое делится на число, раз делится их сумма. Это обратное утверждение, и оно неверно: слагаемые могут вместе дать кратное число. Для проверки достаточно примера 8 + 4 = 12: сумма делится на 6, а слагаемые — нет.

Ошибка: применять к сумме правило для произведения, заметив в ней одно слагаемое, которое делится на число. Правило о множителе относится к умножению, а сумма требует проверки всех слагаемых. Чтобы проверить себя, разбери каждое слагаемое отдельно и только после этого делай вывод о сумме.

Ошибка: применять правило разности, когда на выбранное число делится только одно из двух чисел. Причина в том, что условие для разности похоже на условие для суммы, и второе число легко забыть. Проверь делимость обоих чисел на один и тот же делитель, прежде чем утверждать, что делится их разность.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умения находить делители и кратные, а также проверять деление без остатка. Правила делимости помогают упрощать числовые выражения и доказывать делимость, не вычисляя значение целиком. Позже эти рассуждения пригодятся при разложении чисел на множители и поиске общих делителей. Поэтому полезно замечать общий множитель и проверять, какие части выражения делятся на одно число.

Что запомнить

• Если каждое слагаемое делится на число, то их сумма делится на это число.
• Если оба числа делятся на один делитель, то их разность тоже делится на него.
• Если хотя бы один множитель произведения делится на число, то произведение делится на него.
• Правило для суммы можно применять к любому числу слагаемых.
• Делимость суммы не означает, что каждое её слагаемое делится на тот же делитель.
• Перед применением правила проверь, что условие выполнено для нужных слагаемых или множителей.