23. Признаки делимости

Определения и обозначения

Натуральное число делится на другое натуральное число, если при делении получается целое частное. Например, 24 делится на 6, потому что 24 : 6 = 4, а остатка нет. Если при делении остаётся часть, которой не хватает до целого числа, деление не считается делением нацело. Это определение помогает понять, что именно мы проверяем, когда ищем делители числа.

Признак делимости — это правило, по которому можно определить, делится ли число нацело, не выполняя само деление. Например, вместо того чтобы делить число на 2 столбиком, можно посмотреть на его последнюю цифру. Такие правила экономят время и помогают не ошибиться в вычислениях. Сначала важно понять, на какое число проверяется делимость, а затем выбрать подходящий признак.

Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Эти цифры называют чётными; числа, которые делятся на 2 без остатка, тоже называют чётными. Если последняя цифра другая, число на 2 не делится. Это правило позволяет быстро отличить чётное число от нечётного, даже если число многозначное.

Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5, а на 10 — если оканчивается на 0. Например, число с последней цифрой 5 делится на 5, но не на 10. Признаки похожи, поэтому их удобно запоминать вместе и не смешивать. Они позволяют проверить делимость по одной цифре, не просматривая всё число.

Как это устроено

Чтобы понять признаки для 2, 5 и 10, представь многозначное число как сумму десятков и единиц. Например, 438 = 43 · 10 + 8, то есть 43 десятка и 8 единиц. Число десятков, умноженное на 10, делится на 2, 5 и 10 без остатка. Поэтому при делении на эти числа результат зависит только от оставшихся единиц, то есть от последней цифры.

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. В записи числа десятки и более крупные разряды дают количество, делящееся на 2, а чётное число единиц тоже делится на 2. Если же единиц нечётное количество, к целому числу десятков добавляется нечётное число, и всё число на 2 без остатка не делится. Так объясняется связь признака делимости на 2 с чётностью.

При делении на 5 остаток определяется последней цифрой, потому что число десятков, умноженное на 10, делится на 5. К этому слагаемому прибавляются единицы: 0 или 5 делятся на 5, а остальные цифры — нет. Значит, на 5 делятся числа с последней цифрой 0 или 5. Для делимости на 10 единицы должны делиться на 10, а это возможно только при последней цифре 0.

Для проверки делимости на 3 используют сумму всех цифр числа. Например, в числе 438 сумма цифр равна 4 + 3 + 8 = 15. Если эта сумма делится на 3, то делится и исходное число; если не делится, то и исходное число не делится на 3. Причина связана с тем, что десять при делении на 3 даёт остаток 1, и разряды числа можно заменить суммой его цифр без изменения остатка.

Признак делимости на 9 устроен так же: складывают все цифры числа. Однако полученную сумму проверяют уже на делимость на 9, а не на 3. Например, сумма цифр может делиться на 3, но не делиться на 9; тогда число делится на 3, но не на 9. Так что для каждого признака нужно проверять сумму именно на то число, которое указано в условии.

Признаки делимости натуральных чисел

В таблице собраны правила, которые позволяют быстро проверить делимость числа. Для 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру, а для 3 и 9 нужно сложить все цифры. Найди в первом столбце число, на которое выполняется проверка, и примени соответствующий признак.

Пример в строке помогает увидеть, как именно применять правило, но для другого числа проверку нужно выполнить заново. Если условие требует проверить число на несколько делителей, используй несколько строк таблицы. Каждый результат отмечай отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Определить, делится ли 438 на 2, 5 и 10. Сначала выберем признаки, в которых достаточно проверить последнюю цифру. У числа 438 последняя цифра — 8. По очереди сопоставим её с условиями для каждого делителя.

1. На 2: цифра 8 входит в список 0, 2, 4, 6, 8, значит, 438 делится на 2.
2. На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5, а у 438 это 8, значит, на 5 число не делится.
3. На 10: последняя цифра должна быть 0, а у 438 последняя цифра 8, значит, на 10 число не делится.

Ответ: 438 делится на 2, но не делится на 5 и 10. Проверка одной последней цифры дала три разных результата, потому что условия признаков различаются.

Задача 2. Определить, делятся ли 735 и 742 на 3 и на 9. Здесь последняя цифра не даёт нужного ответа: нужно сложить цифры каждого числа. Затем каждую сумму отдельно проверим на 3 и на 9.

1. Для 735: 7 + 3 + 5 = 15. Сумма 15 делится на 3, но не делится на 9, поэтому 735 делится на 3, но не на 9.
2. Для 742: 7 + 4 + 2 = 13. Сумма 13 не делится ни на 3, ни на 9, поэтому 742 не делится ни на 3, ни на 9.

Ответ: 735 делится на 3, но не на 9; 742 не делится ни на 3, ни на 9. Важно не остановиться на нахождении суммы, а проверить её делимость на каждое число из условия.

Задача 3. Найти все цифры, которыми можно заменить звёздочку в числе 48*, чтобы число делилось на 2 и на 3. Звёздочка обозначает одну неизвестную цифру от 0 до 9. Нужно найти цифру, которая одновременно подходит к обоим признакам.

1. Для делимости на 2 последняя цифра должна быть чётной. Значит, возможны 0, 2, 4, 6 или 8.
2. Для делимости на 3 сумма цифр 4 + 8 + * = 12 + * должна делиться на 3. Из возможных чётных цифр подходят 0 и 6: получаются суммы 12 и 18.
3. Проверим оба результата: 480 делится на 2 и на 3, как и 486. Остальные чётные цифры дают суммы, не делящиеся на 3.

Ответ: звёздочку можно заменить цифрой 0 или 6. Мы проверили оба условия и оставили только те цифры, которые удовлетворяют им одновременно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любое число, которое оканчивается на 5, делится на 10. Такое число действительно делится на 5, но для делимости на 10 последняя цифра должна быть 0. Путают эти признаки, потому что они похожи и оба связаны с последней цифрой. Проверь себя: назови отдельно условие для 5 и отдельно условие для 10.

Ошибка: при проверке делимости на 3 или 9 смотреть только на последнюю цифру. Для этих признаков важны все цифры числа, поэтому нужно найти их сумму. Такую ошибку легко допустить, если запомнить, что у других признаков используется последняя цифра. Проверь себя, сложив цифры до того, как делать вывод.

Ошибка: перепутать признаки делимости на 3 и на 9. В обоих случаях складывают цифры, но сумму проверяют на делимость именно на заданное число. Например, сумма 15 делится на 3, но не делится на 9. Проверь себя вопросом: на какое число нужно разделить сумму в этой задаче?

Ошибка: при проверке сразу на несколько чисел выполнить только одно условие. Например, для делимости 48* на 2 и на 3 недостаточно проверить, что последняя цифра чётная: нужно ещё проверить сумму цифр. Ошибка возникает, когда первое найденное подходящее условие принимают за полный ответ. Проверь себя по списку всех чисел из условия и отметь каждое отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с признаками делимости нужно знать, что такое цифры и разряды натурального числа, а также уметь складывать и делить натуральные числа. Разрядный состав помогает понять, почему для некоторых проверок важна последняя цифра, а для других — сумма цифр. Позже признаки делимости пригодятся при разложении числа на множители и поиске общих делителей. Они также подготавливают к изучению простых и составных чисел и помогают сокращать дроби.

Что запомнить

• Признак делимости позволяет проверить делимость без деления столбиком.
• На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8.
• На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
• На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
• На 3 число делится тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.
• На 9 число делится тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.