6.4. Признаки делимости

Определения и обозначения

Делимость числа нацело означает, что число можно записать в виде произведения делителя и частного: 24 = 6 · 4. При этом остатка не возникает. Это понятие нужно, чтобы точно описать результат деления.

Признак делимости — правило, с помощью которого можно узнать, делится ли число нацело, не выполняя полное деление. Например, по последней цифре сразу можно проверить делимость на 2. Такие правила помогают считать быстрее и меньше ошибаться.

Признаки делимости на 2, 5 и 10 связаны с последней цифрой числа. Для 2 подходят чётные цифры, для 5 — 0 и 5, а для 10 — только 0. Эти признаки удобны, потому что последнюю цифру видно сразу.

Признаки делимости на 3 и 9 связаны не с последней цифрой, а с суммой всех цифр числа. Если эта сумма делится на выбранный делитель, то и исходное число делится на него. Так можно проверять даже большие числа без письменного деления.

Как это устроено

Чтобы понять признаки для 2, 5 и 10, разделим число на десятки и единицы. Например, 347 = 34 · 10 + 7. Часть 34 · 10 всегда делится на 2, 5 и 10, поэтому при проверке остаётся учесть только единицы, то есть последнюю цифру. Именно поэтому остальные цифры не влияют на этот признак.

Для делимости на 2 последняя цифра должна быть одной из чётных: 0, 2, 4, 6 или 8. Для делимости на 5 последняя цифра может быть только 0 или 5. У делимости на 10 условие строже: подходит лишь 0, поэтому число, оканчивающееся на 5, на 10 не делится.

Рассмотрим число 572. Его сумма цифр равна 5 + 7 + 2 = 14. При разложении числа по разрядам десятки, сотни и тысячи дают остаток, связанный с соответствующими цифрами, поэтому общий остаток при делении на 3 или 9 совпадает с остатком суммы цифр. Значит, для такой проверки достаточно сложить все цифры.

Если число должно делиться сразу на несколько делителей, признаки применяют один за другим. Например, для делимости на 2 и 5 число обязано оканчиваться на 0, а затем для делимости на 9 проверяют сумму цифр. Признак быстро сообщает, подходит ли число, но не отменяет самого понятия деления нацело: окончательный смысл условия всё равно состоит в отсутствии остатка.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала определите делитель, затем выберите в таблице нужный способ проверки. Для 2, 5 и 10 смотрите на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывайте все цифры. Если условие выполнено, число делится на соответствующий делитель.

Разбор задач

Задача 1

Из чисел 124, 375, 508, 690 и 731 выберем числа, которые делятся на 2, на 5 и на 10. Условия нужно проверять отдельно, потому что у каждого делителя свой признак. Начнём с последней цифры каждого числа.

1. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой: 124, 508 и 690.
2. На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5: 375 и 690.
3. На 10 делится только число, оканчивающееся на 0: 690.

Ответ: на 2 — 124, 508, 690; на 5 — 375, 690; на 10 — 690.

Задача 2

Нужно найти цифры вместо обозначения в числе 46□2, чтобы оно делилось и на 3, и на 9. Сначала запишем сумму известных цифр: 4 + 6 + 2 = 12. Затем добавим неизвестную цифру и проверим условие для обоих делителей.

1. Сумма цифр равна 12 + □.
2. Чтобы число делилось на 9, эта сумма должна быть кратна 9.
3. Из цифр от 0 до 9 подходит только 6: 12 + 6 = 18.
4. Число 18 делится и на 9, и на 3, поэтому условие выполнено.

Ответ: нужно поставить цифру 6; получится число 4662.

Задача 3

Составим наименьшее четырёхзначное число из цифр 0, 3, 5 и 7 без повторений, которое делится на 2, 5 и 9. Сначала объединим признаки для 2 и 5, а затем проверим условие для 9. Возможно, после проверки окажется, что подходящего числа нет.

1. Число, делящееся и на 2, и на 5, должно оканчиваться на 0.
2. Оставшиеся цифры 3, 5 и 7 образуют первые три разряда; первая цифра не может быть 0.
3. Сумма всех цифр в любом порядке равна 0 + 3 + 5 + 7 = 15.
4. Число 15 не делится на 9, значит, ни один порядок этих цифр не даст делимость на 9.

Ответ: такого четырёхзначного числа составить нельзя.

Типичные ошибки

Иногда делимость на 2 проверяют по сумме цифр. Так делать нельзя: для 2 важна только последняя цифра, и она должна быть чётной. Проверьте себя, закрыв остальные цифры числа и посмотрев лишь на единицы.

Другая ошибка — считать, что любое число, оканчивающееся на 5, делится на 10. На самом деле для 10 последняя цифра должна быть 0, а цифра 5 подходит только для делимости на 5. Полезно сравнить число с таблицей признаков.

Признаки на 3 и 9 тоже часто путают. Сумма цифр должна делиться именно на тот делитель, который указан в условии: на 3 или на 9. Например, 12 делится на 3, но не делится на 9.

Ошибки возникают и при сложении цифр: пропускают разряд или неверно считают сумму. Складывайте цифры по порядку и повторите вычисление обратным способом. Только после этого делайте вывод о делимости.

Связь с другими темами

До изучения признаков делимости нужны деление с остатком, понятия делителя и кратного, а также разрядный состав натурального числа. Эти знания объясняют, почему в разных признаках проверяют последнюю цифру или сумму цифр.

Признаки делимости пригодятся при разложении чисел на простые множители и поиске общих делителей. С их помощью можно быстро отсеять неподходящие варианты и не выполнять много делений.

Тема связана с сокращением дробей, проверкой вычислений и задачами на составление чисел. Если нужно подобрать цифру или порядок цифр, признаки превращают условие задачи в понятные проверки.

Что запомнить

• Признак делимости позволяет установить делимость числа без письменного деления.
• Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.