"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Признаки делимости — это правила, с помощью которых можно быстро узнать, делится ли натуральное число на другое без деления столбиком. Для проверки на 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру, а для 3 и 9 — сложить все цифры числа. Эти правила помогают решать задачи, подбирать цифры в записи числа, а позже — раскладывать числа на множители и сокращать дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число делится на другое натуральное число, если при делении получается целое частное без остатка. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4, а остатка нет. Если при делении остаётся часть, делимости нет. Это понятие нужно, чтобы описывать, какие числа можно разделить на равные группы без остатка.
Признак делимости — правило, которое помогает узнать, делится ли одно число на другое, не выполняя само деление. Такие правила обычно используют цифры числа или их сумму. С их помощью удобно проверять большие числа и быстрее решать задачи. Если условие признака не выполнено, число не делится на указанное число.
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Эти цифры называются чётными. Например, 438 делится на 2, потому что заканчивается цифрой 8. Признак позволяет определить делимость, не проверяя всё число делением.
Признаки делимости на 3 и на 9 связаны с суммой цифр: число делится на 3 или на 9, если сумма его цифр делится соответственно на 3 или на 9. Например, у числа 234 сумма цифр равна 9, поэтому число делится и на 3, и на 9. Эти правила нужны, когда последняя цифра сама по себе ничего не говорит о делимости.
Десятичная запись числа показывает, сколько в нём единиц, десятков, сотен и других разрядов. Например, число 438 состоит из 4 сотен, 3 десятков и 8 единиц: 438 = 400 + 30 + 8. Разряды нужны не только для чтения числа — их свойства объясняют, почему некоторые признаки зависят лишь от последней цифры. Сотни и десятки можно сгруппировать по десять, а единицы остаются отдельно.
Для делимости на 2, 5 и 10 важны единицы. Число, составленное из десятков, сотен и более крупных разрядов, оканчивается нулём и делится на 10, а значит, также делится на 2 и на 5. Поэтому остаток при проверке на эти числа определяется только последней цифрой. На 2 подходят чётные цифры, на 5 — 0 или 5, а на 10 — только 0.
Для проверки на 3 и 9 используют сумму цифр, потому что разрядные единицы связаны с этими числами. Десять при делении на 3 даёт остаток 1: 10 = 9 + 1. Сто тоже даёт остаток 1, так как 100 = 99 + 1; так же устроены и остальные разрядные единицы. Поэтому число при делении на 3 или 9 имеет такой же остаток, как сумма его цифр, и можно проверять именно эту сумму.
Признаки делимости на 3 и 9 похожи, но условия у них разные. Если сумма цифр делится на 9, она обязательно делится и на 3, ведь 9 делится на 3. Но сумма может делиться на 3 и не делиться на 9: например, 12 делится на 3, но не на 9. Поэтому для проверки на 9 нельзя ограничиться тем, что сумма цифр делится на 3.
Когда нужно проверить делимость сразу на несколько чисел, применяют признаки по очереди и не пропускают ни одного условия. Например, для делимости на 2 и на 9 сначала проверяют последнюю цифру, а затем складывают все цифры. Только если число прошло обе проверки, можно сделать вывод, что оно делится одновременно на 2 и на 9. Такой порядок помогает не путать признаки и быстро находить подходящие числа.
| На какое число проверяем делимость | Признак |
|---|---|
| На 2 | Последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8 |
| На 5 | Последняя цифра — 0 или 5 |
| На 10 | Последняя цифра — 0 |
| На 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| На 9 | Сумма цифр делится на 9 |
Сначала определи, на какое число нужно проверить делимость, а затем найди соответствующий признак в таблице. Для 2, 5 и 10 смотри на последнюю цифру, для 3 и 9 складывай все цифры. Если проверяешь делимость на несколько чисел, выполни каждую проверку отдельно.
Здесь нужно проверить три условия, поэтому не будем пытаться делить 438 на каждое число. Начнём с последней цифры: это 8. Затем сравним её с условиями для делимости на 2, 5 и 10, ведь все эти признаки связаны с единицами.
Ответ: 438 делится на 2, но не делится на 5 и на 10. Мы проверили каждое число отдельно, используя одну и ту же последнюю цифру. Делить 438 столбиком для этого не понадобилось.
У числа 7 245 последняя цифра 5, но для проверки на 3 и на 9 она не решает задачу. Нужно найти сумму всех цифр: именно она подскажет, делится ли исходное число на каждое из этих чисел. После этого проверим сумму отдельно на 3 и на 9.
Ответ: 7 245 делится на 3 и на 9. Сумма цифр оказалась кратной 9, поэтому она также кратна 3. Если бы сумма делилась на 3, но не делилась на 9, число делилось бы на 3, но не на 9.
Звёздочка обозначает неизвестную цифру, поэтому проверим условия по очереди. Для делимости на 2 достаточно взглянуть на последнюю цифру числа, а для делимости на 9 нужно узнать сумму цифр. Такой порядок сразу показывает, есть ли ограничения на неизвестную цифру.
Ответ: вместо звёздочки нужно поставить цифру 3, и получится число 432. Оно оканчивается чётной цифрой 2, а сумма его цифр равна 9. Поэтому 432 делится одновременно на 2 и на 9.
Иногда делимость на 2 пытаются определить по первой цифре числа. Это неверно: число 123 начинается с нечётной цифры, но проверять нужно его последнюю цифру. Ошибка возникает, если читать число слева направо и не вспомнить, что правило относится к единицам. Для проверки найди крайний справа знак записи и сравни его с чётными цифрами.
Не путай признаки делимости на 5 и на 10. Для делимости на 5 последняя цифра может быть 0 или 5, а для делимости на 10 подходит только 0. Часто эти правила смешивают, потому что числа, делящиеся на 10, также делятся на 5. Чтобы проверить себя, назови все допустимые последние цифры для нужного признака.
Ещё одна ошибка — проверять делимость на 3 или 9 по последней цифре. Она может быть любой: например, 234 оканчивается на 4, но делится на 3 и на 9. Для проверки сложи все цифры, затем выясни, делится ли сумма на нужное число. Не пропускай ни одну цифру, даже если число длинное.
Если сумма цифр делится на 3, это не значит, что она обязательно делится на 9. Например, 12 делится на 3, но при делении на 9 остаётся остаток. Ошибка появляется, когда признаки 3 и 9 считают одинаковыми. Проверяй сумму отдельно: подходит ли она для деления на 3 и подходит ли для деления на 9.
Чтобы пользоваться признаками, нужно уметь читать десятичную запись натуральных чисел и понимать разряды: единицы, десятки, сотни. Пригодится и знание остатка при делении — он показывает, что остаётся, если число не делится нацело. В дальнейшем признаки делимости помогают искать простые множители числа и раскладывать его на множители. Они также упрощают сокращение дробей: можно заметить общий делитель числителя и знаменателя без долгих вычислений.
Почему для проверки делимости на 2 достаточно посмотреть на последнюю цифру?
Любое число можно представить как число десятков и последнюю цифру. Число десятков делится на 2, поэтому остаток зависит только от единиц. Значит, число делится на 2, если последняя цифра чётная.
Как быстро проверить, делится ли большое число на 3?
Сложи все цифры числа. Если полученная сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3. Например, для 7 245 сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3.
Если число делится на 9, обязательно ли оно делится на 3?
Да. Любая сумма цифр, которая делится на 9, делится и на 3, поэтому число делится на 3. Обратное неверно: например, 12 делится на 3, но не на 9.
Может ли число одновременно делиться на 2 и на 5?
Да, если оно делится на 10. Для этого последняя цифра должна быть 0: такая цифра подходит и для признака делимости на 2, и для признака делимости на 5.
Как проверить делимость числа на несколько чисел сразу?
Проверь число по каждому признаку отдельно. Например, для делимости одновременно на 2 и на 9 сначала посмотри на последнюю цифру, затем найди сумму цифр. Число подходит, только если выполнены оба условия.
3.2. Признаки делимости
