"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Если при делении остаток равен нулю, первое число называют кратным второго, а второе — его делителем. Эти слова описывают одну и ту же связь с разных сторон. Свойства делимости позволяют делать выводы о сумме, разности и произведении, не проверяя каждое вычисление с нуля.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число делится на другое натуральное, если при делении получается натуральное число без остатка. Например, 35 делится на 7, потому что 35 : 7 = 5 и остатка нет. Это определение помогает отличить точное деление от деления с остатком. Чтобы проверить делимость, нужно выполнить деление или найти подходящее умножение.
Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 7 является делителем 35, потому что 35 : 7 = 5. Одно число может иметь несколько делителей: например, 12 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поиск делителей нужен, когда требуется разделить число на равные группы.
Кратное числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Число 35 является кратным 7, потому что 35 : 7 = 5; его также можно получить умножением 7 · 5. У одного числа может быть много кратных: у 7 это 7, 14, 21, 28 и так далее. Так можно находить числа, которые подходят для равного распределения или повторения групп.
Запись a ⋮ b означает, что натуральное число a делится на натуральное число b без остатка. Например, запись 28 ⋮ 7 верна, поскольку 28 : 7 = 4. В этой записи число справа, b, является делителем, а число слева, a, — кратным. Обозначение позволяет коротко записывать результат проверки делимости.
Делимость связана с делением с остатком. При делении натуральных чисел делимое можно представить как делитель, умноженный на частное, плюс остаток. Если остаток равен нулю, остаётся только произведение делителя и частного, поэтому деление точное. Например, 35 = 7 · 5, значит, при делении 35 на 7 получается целое натуральное частное 5.
Слова «делитель» и «кратное» описывают одну связь, но смотрят на неё с разных сторон. Если a делится на b, то при делении a на b остатка нет: b делит a, поэтому b — делитель a. Одновременно a получается умножением b на натуральное частное, поэтому a — кратное b. Например, 24 : 6 = 4 означает и то, что 6 — делитель 24, и то, что 24 — кратное 6.
Сумма двух чисел, делящихся на одно и то же число, тоже делится на него. Пусть оба слагаемых делятся на b: тогда первое можно записать как b · m, а второе — как b · n, где m и n — натуральные числа. Их сумма равна b · m + b · n, то есть b · (m + n). Значит, сумма снова содержит множитель b и делится на него без остатка.
Для разности причина похожа: если числа имеют общий множитель b, его можно вынести за скобки. Пусть большее число равно b · m, а меньшее — b · n; тогда их разность равна b · (m − n). Когда разность рассматривается как натуральное число, соответствующее частное тоже натурально, и деление на b выполняется без остатка. Например, 36 − 24 = 12, а 12 делится на 6.
Если один из множителей произведения делится на число b, то произведение также делится на b. Такой множитель можно представить как b · m, а второй множитель обозначить n. Тогда всё произведение равно (b · m) · n = b · (m · n), то есть в нём сохраняется множитель b. Например, поскольку 18 делится на 9, произведение 18 · 25 тоже делится на 9.
| Ситуация | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Сумма | Каждое из двух слагаемых делится на одно и то же число | Их сумма делится на это число |
| Разность натуральных чисел | Оба числа делятся на одно и то же число, а их разность натуральна | Разность делится на это число |
| Произведение | Хотя бы один множитель делится на данное число | Произведение делится на это число |
Сначала найди в таблице нужную ситуацию, затем проверь каждое условие в своей задаче. Только после этого можно делать вывод о делимости результата. Особенно внимательно проверь оба слагаемых и натуральность разности.
Задача 1. Проверить, делится ли 35 на 7, и указать делитель и частное. Нужно выяснить, остаётся ли что-нибудь после деления. Если остаток равен нулю, деление точное, и по результату можно назвать делитель и частное.
Ответ: 35 делится на 7 без остатка; делитель — 7, частное — 5. Проверка умножением подтверждает результат деления. Она особенно удобна, когда нужно убедиться, что найденное частное верно.
Задача 2. Известно, что 24 и 36 делятся на 6. Определить, делится ли на 6 их сумма и разность. Здесь не обязательно делить получившиеся числа по отдельности: оба исходных числа подходят под условия свойств суммы и разности. Разность положительна, поэтому она является натуральным числом.
Ответ: и сумма 60, и разность 12 делятся на 6. Проверка: 60 : 6 = 10, а 12 : 6 = 2. В разности порядок чисел выбран так, чтобы результат оставался натуральным.
Задача 3. Докажите, что произведение 18 · 25 делится на 9, и найдите частное. Для доказательства достаточно заметить, что один из множителей уже делится на 9. Второй множитель не мешает делимости: он лишь умножает частное на своё значение.
Ответ: произведение делится на 9, частное равно 50. В решении использовано свойство делимости произведения и проверка делением. Такой способ позволяет сначала доказать делимость, а затем вычислить частное.
Ошибка: считать число делителем другого только потому, что оно меньше него. Меньшее число может не делить большее без остатка: например, 8 меньше 35, но 35 : 8 не является делением без остатка. Так ошибаются, когда сравнивают числа вместо проверки деления. Проверь себя: раздели число на предполагаемый делитель и посмотри, равен ли остаток нулю.
Ошибка: путать делитель и кратное. В записи 28 ⋮ 7 число 7 — делитель, а 28 — кратное; это видно по тому, что именно 28 делят на 7. Путаница возникает, если запомнить связь только по названию, не обращая внимания на порядок чисел. Для проверки спроси себя: какое число делят и на какое?
Ошибка: применять свойство разности, не проверив, что разность натуральна. Например, из 5 и 8 нельзя получить натуральную разность, если вычесть 8 из 5. Это условие легко пропустить, потому что оба исходных числа натуральные, но их разность не всегда натуральна. Перед применением свойства вычти меньшее число из большего и проверь, что результат положителен.
Ошибка: утверждать, что сумма делится на число, если на него делится только одно слагаемое. Свойство суммы требует, чтобы делились оба слагаемых: например, 6 делится на 3, но 6 + 1 = 7 на 3 не делится. Ошибка появляется, когда условие о каждом слагаемом заменяют условием хотя бы об одном. Проверь делимость обоих чисел до сложения.
Для изучения делимости нужно уметь делить с остатком, умножать и проверять деление с помощью умножения. Эти навыки помогают установить, равен ли остаток нулю. Позже делимость пригодится при разложении чисел на множители и поиске общих делителей и кратных. Свойства делимости также используют при сокращении дробей и проверке вычислений.
Как проверить, делится ли одно число на другое без остатка?
Раздели первое число на второе и найди остаток. Если остаток равен нулю, деление выполнено без остатка, значит, первое число делится на второе.
Чем делитель отличается от кратного?
Делитель делит данное число без остатка, а кратное само делится на это число. Например, для чисел 28 и 7 число 7 — делитель, а 28 — кратное.
Как правильно читать запись a ⋮ b?
Её читают: число a делится на число b без остатка. Значит, b является делителем a, а a — кратным b.
Всегда ли сумма двух чисел, делящихся на одно число, делится на него?
Да, если оба слагаемых делятся на это число без остатка. Если делится только одно слагаемое, такой вывод делать нельзя.
Почему свойство делимости разности применяют только тогда, когда разность натуральна?
В этой теме рассматривают натуральные числа, а разность натуральных чисел не всегда натуральна. Например, 5 − 8 не является натуральным числом, поэтому свойство в таком виде к этой разности не применяют.
3.1. Делимость. Свойства делимости
