Раздел II. Делимость

Определения и обозначения

Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b без остатка, если при делении a на b получается натуральное частное и остаток равен нулю. В записи a : b = c число a — делимое, b — делитель, c — частное. Например, 15 : 3 = 5, поэтому 15 делится на 3 без остатка. Это определение позволяет отличить точное деление от деления с остатком.

Делителем числа называют натуральное число, на которое данное число делится без остатка. У любого натурального числа есть делители 1 и оно само: любое число делится на 1 и на себя. Например, 8 делится на 1 и на 8. Поиск делителей помогает узнать, на какие равные группы можно разделить предметы или число.

Кратным числа называют результат умножения этого числа на натуральное число. Например, 20 — кратное 5, потому что 5 · 4 = 20; значит, 20 делится на 5 без остатка. Проверить, кратно ли одно число другому, можно делением: если остатка нет, первое число кратно второму. Так слова «делитель» и «кратное» описывают одну и ту же связь с разных сторон.

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух делителей. Например, 7 — простое, а 8 — составное, потому что его делители — 1, 2, 4 и 8. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным: у него только один натуральный делитель. Это различие нужно, чтобы правильно раскладывать числа на простые множители.

Как это устроено

Деление с остатком показывает, насколько точно одно число помещается в другом. Если при делении a на b остаток равен нулю, то a состоит из целого количества групп по b и делится на b. Если остаток не равен нулю, полных групп получается не ровно столько, чтобы разделить a без остатка. Поэтому для проверки делимости достаточно посмотреть на остаток, а не только на частное.

Делитель и кратное связаны одной операцией деления. Если a делится на b, то b называют делителем a, а a — кратным b: например, 18 : 6 = 3, значит, 6 — делитель 18, а 18 — кратное 6. Это не два разных вычисления, а два названия для участников одной связи. Чтобы не перепутать их, вспомни: делитель делит, а кратное получается умножением делителя на целое число.

Признаки делимости позволяют определить остаток, не выполняя деление. При умножении целых десятков на 2, 5 или 10 последняя цифра результата зависит от последней цифры исходного числа, поэтому проверяют именно её. Для делимости на 3 и 9 важна сумма цифр: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3 и на 9. Поэтому достаточно проверить сумму, а не делить большое число целиком.

Простые числа можно считать строительными элементами составных: всякое составное натуральное число больше 1 можно представить произведением простых чисел. Например, 12 = 2 · 2 · 3, и каждый множитель здесь простое число. Если в разложении ещё остался составной множитель, его можно разделить дальше. Разложение удобно тем, что показывает, из каких простых чисел состоит исходное число.

Общие делители и кратные двух чисел удобно находить по их разложениям на простые множители. Для наибольшего общего делителя (НОД) берут только общие простые множители и учитывают каждый столько раз, сколько он встречается в меньшем количестве. Для наименьшего общего кратного (НОК) нужны множители, достаточные для делимости на оба числа: общие берут с нужным числом повторений, а недостающие добавляют. Так разложения помогают не перебирать все числа по одному.

Признаки делимости натуральных чисел

В таблице собраны быстрые проверки: сначала выбери нужный делитель, затем проверь последнюю цифру или сумму цифр. Если условие выполнено, число делится на этот делитель без остатка.

Разбор задач

Задача 1. Определить, делится ли 438 на 2, 3, 5, 9 и 10, не выполняя деление. Будем проверять каждый делитель по своему признаку: для 2, 5 и 10 нужна последняя цифра, а для 3 и 9 — сумма цифр. Такой порядок помогает не применять неподходящее правило. Последняя цифра числа 438 — 8, а сумма цифр равна 4 + 3 + 8 = 15.

1. Для 2 последняя цифра 8 чётная, поэтому 438 делится на 2.
2. Сумма цифр 15 делится на 3, поэтому 438 делится на 3.
3. Последняя цифра не 0 и не 5, поэтому 438 не делится на 5.
4. Сумма цифр 15 не делится на 9, поэтому 438 не делится на 9.
5. Последняя цифра не 0, поэтому 438 не делится на 10.

Ответ: 438 делится на 2 и 3, но не делится на 5, 9 и 10.

Задача 2. Разложить 84 на простые множители и перечислить все его натуральные делители. Сначала будем делить число на простые числа, пока не получим только простые множители. Затем составим делители из возможных произведений полученных множителей. Важно включить в список и 1, и само число.

1. 84 делится на 2: 84 = 2 · 42.
2. 42 тоже делится на 2: 42 = 2 · 21, а 21 = 3 · 7. Получаем разложение 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
3. Составляем произведения: 1; 2; 3; 4; 7; 2 · 3 = 6; 2 · 7 = 14; 2 · 2 · 3 = 12; 2 · 2 · 7 = 28; 3 · 7 = 21; 2 · 3 · 7 = 42; 2 · 2 · 3 · 7 = 84.

Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7; делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Задача 3. Для чисел 36 и 48 найти НОД и НОК. Сначала разложим оба числа на простые множители, чтобы увидеть общие множители и их количество. Для НОД оставим только общие множители, а для НОК соберём произведение, которое делится на оба числа. Это позволяет проверить результат по условию делимости.

1. Разложим числа: 36 = 2 · 2 · 3 · 3, а 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3.
2. Общие множители — две двойки и одна тройка. Их произведение равно 2 · 2 · 3 = 12, значит, НОД равен 12.
3. Для НОК нужны четыре двойки и две тройки: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144.
4. Проверим: 144 : 36 = 4 и 144 : 48 = 3, то есть 144 делится на оба числа.

Ответ: НОД(36, 48) = 12, НОК(36, 48) = 144.

Типичные ошибки

Путают делитель и кратное: если первое число делится на второе, второе — делитель, а первое — кратное. Ошибка возникает из-за того, что оба слова называют числа в одной связи. Например, из 20 : 5 = 4 следует, что 5 — делитель 20, а 20 — кратное 5. Проверь себя обратным умножением: делитель, умноженный на частное, даёт кратное.

Иногда число 1 называют простым, потому что оно делится на себя и на 1. Но эти два делителя здесь совпадают, поэтому натуральный делитель у 1 только один, а у простого числа их должно быть ровно два. Чтобы проверить себя, перечисли делители числа: если их два — число простое, если больше двух — составное. Число 1 не попадает ни в одну из этих групп.

При проверке делимости на 3 или 9 иногда смотрят только на последнюю цифру. Такой способ здесь не подходит: нужно сложить все цифры числа и проверить сумму. Например, у 438 сумма цифр равна 15, поэтому число делится на 3, хотя его последняя цифра — 8. Самопроверка простая: убедись, что использовал именно сумму всех цифр.

При разложении на простые множители можно остановиться на составном числе, например записать 84 = 2 · 42. Это ещё не полное разложение: 42 само является составным числом. Продолжай делить составные множители, пока каждый из них не станет простым. Для проверки перемножь полученные простые числа: должен получиться исходный множитель или исходное число.

Связь с другими темами

Для изучения делимости нужно уметь выполнять деление с остатком, умножать натуральные числа и находить сумму цифр. Эти действия помогают проверять, делится ли число на другое, и раскладывать его на множители. Делители и кратные пригодятся при сокращении дробей и приведении дробей к общему знаменателю. Позднее поиск общих делителей и кратных поможет решать задачи с дробями.

Что запомнить

• Число делится на другое без остатка, если остаток при делении равен нулю.
• Если a делится на b, то b — делитель a, а a — кратное b.
• У простого числа ровно два натуральных делителя: 1 и само число.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Признаки делимости на 2, 5 и 10 определяются последней цифрой.
• Признаки делимости на 3 и 9 определяются суммой цифр.
• Составное число можно представить в виде произведения простых множителей.