"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Занимательные задачи учат не только считать, но и внимательно читать условие, замечать связи и выбирать удобный способ рассуждения. Иногда для ответа достаточно найти правило в ряду чисел, а иногда нужно составить схему или по порядку проверить возможные случаи. Главный ориентир — не угадывать, а объяснять, почему ответ подходит и почему другие варианты не подходят. Эти умения помогают решать задачи по математике и головоломки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Занимательная задача — задача, в которой для решения нужно заметить необычное условие, закономерность или нестандартный ход рассуждения. Это не значит, что задача обязательно трудная: иногда ответ находится быстро, если увидеть нужную подсказку. Такое определение помогает не бросаться сразу к вычислениям, а сначала поискать идею решения.
Логическая задача — задача, в которой ответ получают из условий с помощью последовательных рассуждений, а не только вычислений. Нужно проследить, что следует из каждого условия, и исключить то, что ему противоречит. Это понятие полезно, когда в задаче важнее связи между предметами, чем числа.
Перебор вариантов — проверка всех возможных случаев по выбранному порядку, чтобы найти подходящий ответ или убедиться, что других ответов нет. Например, можно по очереди рассмотреть каждую допустимую цифру десятков. Перебор нужен, когда вариантов немного и каждый можно проверить, не пропустив ни одного.
Закономерность — правило, по которому связаны числа, фигуры или действия в ряду. Например, каждое следующее число может быть на 3 больше предыдущего. Поиск такого правила помогает продолжать ряды и объяснять, почему элементы расположены именно так, а не угадывать ответ.
Сначала внимательно прочитай условие и отдели данные от вопроса: что уже известно, а что нужно найти. Это нужно потому, что в тексте могут быть ограничения, которые меняют способ решения: например, цифры нельзя повторять или все надписи заведомо неверны. Если начать считать, не заметив такого уточнения, можно получить ответ, который подходит вычислениям, но не подходит задаче. После чтения полезно кратко пересказать условие своими словами.
Переформулировка, рисунок или таблица превращают длинное условие в наглядную запись. На рисунке удобно показать расположение предметов или связи между ними, а таблица помогает разнести данные по строкам и столбцам. Так становится легче сравнивать сведения и видеть, какие сочетания запрещены. Наглядная запись особенно полезна, если нужно удержать несколько условий одновременно.
Чтобы распознать закономерность, сравнивай соседние элементы: насколько изменились числа, чем отличаются фигуры или какое действие повторяется. Найдя возможное правило, проверь его на всех переходах, которые уже даны, и продолжи ряд по тому же правилу. Проверка нужна, потому что первые два числа могут случайно отличаться так же, как и следующие. Чем больше элементов объясняет одно правило, тем убедительнее оно подходит.
Перебор удобен, если возможных случаев конечное число и каждый из них можно проверить. Сначала реши, в каком порядке будешь их записывать: например, сгруппируй числа по цифре десятков, а внутри группы меняй цифру единиц. Такой порядок помогает увидеть, где перебор начинается и заканчивается. Кроме того, он не даёт случайно повторить одну и ту же комбинацию или пропустить её.
Когда ответ найден, подставь его в условие и проверь каждое требование. Если это число, проверь его состав и ограничения; если это распределение предметов — все указанные связи. Одной проверки «похоже на правду» недостаточно: ответ может удовлетворять одному условию и нарушать другое. Объяснение показывает, почему ответ подходит, а полный перебор или рассуждение — почему другого ответа нет.
| Приём | Когда применять | Как действовать | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| Составление рисунка или схемы | Когда нужно показать расположение предметов, связи или части целого | Изобразить объекты условными значками и подписать известные данные | Сверить схему с каждым условием и убедиться, что ничего не потеряно |
| Таблица для упорядочивания данных | Когда есть несколько объектов и признаков, которые нужно сопоставить | Записать объекты в строки, признаки в столбцы и отмечать подходящие связи | Проверить все строки, столбцы и заданные ограничения |
| Поиск закономерности | Когда числа, фигуры или действия образуют ряд | Сравнить соседние элементы и сформулировать повторяющееся правило | Проверить правило на каждом известном переходе и продолжении ряда |
| Перебор возможных случаев | Когда вариантов немного и их можно перечислить | Задать порядок, записать каждый случай и отметить подходящие | Убедиться, что перебор полный и нет повторов |
Сначала выбери приём, который делает условие наиболее понятным: схема подходит для расположения и связей, а таблица — для сопоставления данных. Если дан ряд, ищи правило; если вариантов немного — перебирай их по порядку. После решения обязательно используй последний столбец: проверка показывает, не противоречит ли ответ условию.
Задача 1. В ряду 2, 5, 8, 11, … назовите следующие два числа и объясните правило. Нужно понять, как устроены переходы между числами, а не просто продолжить ряд наугад.
Ответ: 14 и 17. Правило — каждый раз прибавлять 3; проверка состоит в том, что все соседние числа ряда отличаются на 3.
Задача 2. Есть три коробки с надписями «яблоки», «груши» и «яблоки и груши». Все надписи неверны. Как, вынув один фрукт из одной коробки, определить содержимое всех коробок? Начать нужно с коробки с надписью «яблоки и груши»: раз все надписи неверны, смесь там находиться не может.
Ответ: одного фрукта из коробки с надписью «яблоки и груши» достаточно. После определения её содержимого два оставшихся варианта устанавливаются по тому, что каждая надпись неверна.
Задача 3. Из цифр 1, 2, 3 и 4 составляют двузначные числа без повторения цифр. Сколько таких чисел больше 30? У числа больше 30 цифра десятков должна быть 3 или 4, поэтому перебор удобно разбить на две группы.
Ответ: 6 чисел. Список полон, потому что разобраны обе допустимые цифры десятков и все подходящие цифры единиц в каждой группе.
Начинать вычисления, не разобрав условие. Так поступают, когда первым делом замечают числа и хотят скорее выполнить действие, но при этом можно пропустить ограничение или особый смысл слов. Например, число может получиться правильным по вычислениям, но нарушать запрет на повтор цифр. Перед решением проверь себя: можешь ли ты своими словами назвать все данные и ограничения?
Принимать случайное совпадение за закономерность. Если сравнить только два первых элемента, можно придумать правило, которое дальше не работает. Такое случается, когда хочется быстро угадать продолжение ряда. Проверь предполагаемое правило на каждом известном переходе и примени его к следующим элементам: оно должно объяснять весь ряд.
Перебирать варианты без порядка. При беспорядочной записи легко забыть случай или посчитать один и тот же два раза; обычно это происходит, когда варианты вспоминают по мере решения. Раздели их на группы и внутри каждой двигайся последовательно, например по возрастанию цифр. В конце проверь, что каждая допустимая группа рассмотрена и повторов нет.
Не проверять найденный ответ по всем условиям. Ответ может казаться подходящим, если проверено только одно требование, а остальные забыты. Это случается, когда решение уже найдено и хочется сразу закончить. Подставь ответ в условие целиком и отдельно проверь каждое ограничение; если их несколько, перечисли проверки явно.
Для занимательных задач нужны умения читать условие, выполнять арифметические действия и сравнивать числа. Рисунки, схемы и таблицы помогают разбирать текстовые задачи, в том числе задачи на движение, покупки и распределение. Поиск закономерностей и обоснованный перебор пригодятся при изучении делимости и комбинаторных задач. Эти же приёмы помогают разбираться в геометрических головоломках.
Чем занимательная задача отличается от обычной арифметической?
В арифметической задаче часто достаточно выбрать действия и выполнить вычисления. В занимательной задаче нужно ещё заметить особое условие, правило или логическую связь. Вычисления могут быть нужны, но они не всегда составляют весь путь к ответу.
Что делать, если непонятно, с чего начать решение?
Перечитай условие и отдельно отметь, что известно и что требуется найти. Перескажи задачу своими словами, нарисуй схему или запиши данные в таблицу. Затем попробуй выделить ограничения и решить более простой похожий случай.
Как понять, что закономерность найдена правильно?
Проверь, объясняет ли правило переход от каждого элемента ряда к следующему, а не только от первого ко второму. Затем примени его к следующим элементам и сравни получившиеся значения с условием. Если правило подходит лишь к одному месту, оно может быть случайным совпадением.
Как не пропустить варианты при переборе?
Заранее выбери порядок: например, перебирай цифры десятков от меньшей к большей, а внутри каждой группы — цифры единиц. Отмечай уже проверенные случаи и не возвращайся к ним повторно. В конце проверь, что рассмотрены все варианты, которые допускает условие.
Обязательно ли записывать рассуждения, если ответ уже найден?
Да, краткая запись помогает проверить, что ответ получен из условия, а не угадан. Она также показывает, почему найденный вариант подходит и почему других подходящих вариантов нет. Для этого можно привести вычисления, схему или порядок перебора.
2.18. Занимательные задачи
