3.3. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5 и остатка нет. Понятие делителя помогает проверять, можно ли разделить число на равные части и как устроено его деление.

Простое число — натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два делителя: единицу и само себя. Например, у числа 7 делители только 1 и 7. Это определение нужно, чтобы отличать числа, которые нельзя разделить без остатка на другие числа, кроме этих двух.

Составное число — натуральное число, большее единицы, имеющее более двух делителей. Например, у числа 6 есть делители 1, 2, 3 и 6. Составное число можно представить как произведение меньших натуральных чисел, поэтому это определение пригодится при разложении чисел.

Число 1 — особое натуральное число: оно не является ни простым, ни составным, поскольку имеет только один делитель. У единицы делитель 1 и само число 1 совпадают, поэтому двух разных делителей нет. Это уточнение не позволяет ошибочно включать 1 в список простых чисел.

Как это устроено

Любое натуральное число больше 1 делится на 1 и на само себя. Деление на 1 оставляет число без изменения, а при делении числа на себя получается 1. Эти деления всегда выполняются без остатка, поэтому у такого числа как минимум два делителя.

Чтобы понять, простое число или составное, нужно посчитать его делители. Если нашлись только 1 и само число, делителей ровно два и число простое. Если есть хотя бы ещё один делитель, делителей уже больше двух и число составное.

Для доказательства составности не нужно перечислять все делители: достаточно найти один дополнительный. Например, 15 делится без остатка на 3, причём 3 не равно ни 1, ни 15. Значит, у 15 есть как минимум три делителя: 1, 3 и 15, поэтому оно составное.

Небольшие числа проверяют перебором возможных делителей. Сначала исключают 1 и само проверяемое число, а затем пробуют делить на натуральные числа между ними. Если деление хотя бы на одно из них проходит без остатка, число составное; если не проходит ни одно, число простое.

Составное число можно получить умножением меньших натуральных чисел. Например, 18 = 2 · 9, но 9 само составное: его можно разложить как 3 · 3. Продолжая заменять составные множители произведением, получаем простые множители: 18 = 2 · 3 · 3. Такие множители называют простыми, потому что каждый из них — простое число.

Сравнение простых, составных чисел и числа 1

Сначала посмотрите, больше ли число единицы, затем сравните число его делителей. Если число равно 1, его нужно отнести к отдельному случаю. Таблица помогает быстро проверить, не смешали ли вы определения.

Разбор задач

Задача. Определите, какие из чисел 1, 2, 9, 13, 21 и 29 являются простыми, а какие составными. У числа 1 особый статус, поэтому сначала отделим его от остальных. Для каждого числа больше 1 будем искать делители, кроме 1 и самого числа.

1. Для числа 1 есть только один делитель — 1. Значит, оно не простое и не составное.
2. Число 2 делится без остатка только на 1 и 2. Оно простое; это единственное чётное простое число.
3. Число 9 делится на 3, поэтому у него есть дополнительный делитель. Оно составное.
4. Для 13 проверим возможные делители между 1 и 13: ни на 2, ни на 3 число без остатка не делится. Если число делилось бы на 4 или большее число меньше 13, у него появился бы меньший парный делитель; для 13 такого делителя нет, поэтому оно простое.
5. Число 21 делится на 3, так как 2 + 1 = 3 и 21 : 3 = 7. Значит, 21 составное.
6. У числа 29 нет делителя 2 или 3. Другие возможные делители меньше 29 также не дают деления без остатка: если бы число делилось на число от 4 до 14, оно делилось бы и на меньший парный делитель. Поэтому 29 простое.

Ответ: простые числа — 2, 13 и 29; составные — 9 и 21; число 1 не является ни простым, ни составным.

Задача. Найдите все простые числа от 20 до 40. Перебираем числа этого промежутка и отбрасываем те, для которых найдётся дополнительный делитель. Числа 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36 и 38 чётные и больше 2, поэтому делятся на 2.

1. Из нечётных чисел от 20 до 40 исключим 25, 35 — они делятся на 5.
2. Числа 21, 27, 33 и 39 делятся на 3: сумма их цифр делится на 3.
3. Число 21 уже исключено, а 35 делится на 5; для 25, 27, 33 и 39 делители также указаны выше. Числа 23, 29, 31 и 37 не делятся на 2, 3 или 5.
4. Проверки 2, 3 и 5 достаточно: если число из этого промежутка составное, хотя бы один его делитель не больше квадратного корня из 40, то есть не больше 6. Значит, нужно было проверить также 4 и 6, но на них делятся только чётные числа, уже исключённые.

Ответ: простые числа от 20 до 40 — 23, 29, 31 и 37.

Задача. Докажите, что 84 составное, разложите его на множители и назовите простые множители. Сначала достаточно показать делитель, отличный от 1 и 84, а затем продолжить разложение, пока все множители не станут простыми.

1. 84 делится на 2: 84 = 2 · 42. Поэтому 84 составное.
2. Множитель 42 тоже составной: 42 = 2 · 21.
3. 21 разлагается на 3 · 7. Числа 2, 3 и 7 простые, поэтому дальнейшее разложение не требуется.

Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7; простые множители разложения — 2, 3 и 7. Число 2 встречается два раза.

Типичные ошибки

Иногда число 1 называют простым, потому что оно делится на единицу и на себя. Ошибка возникает из-за того, что в случае единицы это не два разных делителя, а один и тот же. Проверьте, сколько различных делителей у числа: у 1 он только один.

Нельзя считать любое чётное число составным, не проверив исключение. Так ошибаются, потому что большинство чётных чисел делится на 2; однако у числа 2 делители только 1 и 2. Проверьте, больше ли чётное число 2: все чётные числа больше 2 составные.

Делитель и кратное иногда путают или проверяют делимость не самого числа, а случайного произведения. Например, 3 — делитель 12, а 12 — кратное 3. Для проверки запишите деление именно данного числа на предполагаемый делитель и убедитесь, что остатка нет.

После проверки одного или двух чисел некоторые сразу объявляют число простым. Но отсутствие делителя 2 ещё не исключает, например, делителей 3 или 5. Проверяйте возможные делители по порядку и завершайте перебор только тогда, когда исключены все варианты.

Связь с другими темами

Для проверки простоты нужны натуральные числа, делители, кратные и деление без остатка. Если эти понятия знакомы, можно обосновать, почему число составное: достаточно показать, на какой дополнительный делитель оно делится. При разложении числа на множители мы продолжаем заменять составные множители произведением, пока не останутся простые числа.

Простые множители используются при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Для этого числа раскладывают на простые множители и сравнивают полученные разложения. Значит, умение различать простые и составные числа помогает выполнять такие вычисления уверенно.

Что запомнить

• Простое число больше единицы и имеет ровно два делителя.
• Составное число больше единицы и имеет более двух делителей.
• У простого числа делители — только 1 и само число.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Чтобы доказать составность числа, достаточно найти дополнительный делитель.
• Составное число можно представить в виде произведения меньших натуральных чисел.
• Простые числа являются основными множителями, из которых можно составить составные числа.