"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Простые и составные числа различают по количеству делителей. Простое число делится только на 1 и себя, а составное имеет дополнительные делители. Число 1 не относится ни к одной из этих групп. Умение определять вид числа помогает находить его делители, раскладывать числа на простые множители, а позже — находить НОД и НОК.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 : 3 = 4. По списку делителей определяют, является число простым или составным.
Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само себя. Например, у числа 7 делители 1 и 7, поэтому оно простое. Это определение помогает отличить простое число от всех чисел с дополнительными делителями.
Составное число — натуральное число, имеющее более двух делителей. Например, у 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Наличие хотя бы одного делителя кроме 1 и самого числа показывает, что число составное.
Число 1 — особый случай: у него только один делитель, самo число 1. Поэтому оно не является ни простым, ни составным. Это правило нужно помнить отдельно, потому что у 1 совпадают «1» и «само число», а простому числу требуются два различных делителя.
У любого натурального числа 1 является делителем: деление числа на 1 всегда даёт само число. Само число тоже является своим делителем, потому что при делении числа на себя получается 1. Поэтому у каждого числа есть как минимум эти делители, а у простого — только они.
Если у числа находится ещё один делитель, отличный от 1 и самого числа, оно становится составным. Например, 11 не делится без остатка ни на одно число между 1 и 11, поэтому имеет только два делителя. А у 12 есть дополнительный делитель 2, значит, оно составное.
Связь с произведением объясняется парами делителей. Если число составное, его можно записать как произведение двух меньших натуральных чисел: 18 = 3 · 6. Простое число так записать нельзя, потому что любое произведение двух меньших чисел даёт дополнительный делитель.
Число 2 — единственное чётное простое число: его делители только 1 и 2. Любое другое чётное число больше 2 делится на 2, причём 2 не совпадает ни с 1, ни с самим числом. Значит, у такого числа есть дополнительный делитель, и оно составное.
Проверку начинают с признаков делимости. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 3 — числа, сумма цифр которых делится на 3, на 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5. Если найден дополнительный делитель, проверку можно закончить с выводом «число составное»; если делителей не нашли, нужно проверить остальные возможные варианты, чтобы обосновать простоту.
| Признак | Простое число | Составное число | Число 1 |
|---|---|---|---|
| Количество делителей | Ровно 2 | Более 2 | 1 |
| Какие делители имеются | 1 и само число | 1, само число и дополнительные делители | Только 1 |
| Возможность представить произведением двух меньших натуральных чисел | Нельзя | Можно | Нельзя |
| Примеры | 2, 3, 17 | 4, 9, 21 | 1 |
| Особенность классификации | Имеет ровно два различных делителя | Имеет дополнительный делитель | Не относится ни к простым, ни к составным |
Пользуйтесь таблицей так: сначала определите количество делителей, не забывая про 1 и само число. Затем найдите дополнительный делитель или убедитесь, что его нет.
Если число равно 1, применяйте отдельную строку таблицы, а не правила для простых чисел.
Сначала отдельно проверим число 1, потому что оно не относится ни к одной группе. Для остальных чисел будем искать делители, кроме 1 и самого числа. Один дополнительный делитель сразу доказывает составность.
Ответ: простые числа — 2, 17 и 29; составное число — 21; число 1 не является ни простым, ни составным.
Проверим делимость на 2, 3, 5 и 7. Если число делится на один из этих делителей, составность доказана. Для чисел 37 и 67 этого набора достаточно после проверки возможных меньших делителей: любой нетривиальный делитель образует пару с другим делителем.
Ответ: простые числа — 37 и 67; составные числа — 51 и 91.
Проверим каждое число и для составного укажем конкретный делитель. Чётные числа, кроме 2, сразу составные, а для нечётных применим признаки делимости на 3, 5 и проверку делителя 7. Так мы получим не только список простых чисел, но и обоснование для остальных.
Ответ: простые числа от 20 до 40 — 23, 29, 31 и 37. Все остальные числа составные, поскольку для каждого указан дополнительный делитель.
Некоторые считают 1 простым, потому что 1 делит 1 и будто бы является двумя делителями. На самом деле это один и тот же делитель, а простому числу нужны два различных делителя. Проверяйте, сколько именно различных чисел входит в список делителей.
Нечётное число иногда называют простым автоматически. Нечётность лишь говорит, что число не делится на 2, но оно может делиться на 3, 5 или 7. Например, 15 нечётное, но составное, потому что 15 : 3 = 5.
Найденный делитель не всегда проверяют делением без остатка. Нельзя объявлять число составным только по внешнему виду или по ошибочному вычислению. Выполните деление и убедитесь, что остатка нет, а найденный делитель не равен 1 или самому числу.
Ещё одна ошибка — считать все нечётные числа простыми, а все чётные составными. Число 2 опровергает вторую часть правила: оно чётное и простое. Поэтому всегда используйте определение, а не только признак чётности.
До изучения темы нужны понятия делителя, кратного и деления без остатка, а также признаки делимости. Они позволяют быстро находить дополнительные делители числа.
Простые числа нужны при разложении чисел на простые множители. Такое разложение помогает увидеть строение числа и выполнять дальнейшие вычисления.
Тема связана с нахождением наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. При поиске НОД и НОК часто используют простые множители исходных чисел.
Почему число 1 не является простым?
У числа 1 только один делитель — само число 1. Для простого числа нужны два различных делителя: 1 и само число, поэтому 1 не является простым и не является составным.
Может ли составное число быть нечётным?
Да, может. Например, 9, 15 и 21 нечётные, но у них есть дополнительные делители: 3, 3 и 3 соответственно.
Почему число 2 — простое, хотя оно чётное?
Чётность сама по себе не означает, что число составное. Число 2 имеет только два делителя: 1 и 2, поэтому оно простое.
Достаточно ли проверить делимость числа на 2, 3 и 5?
Нет, не всегда. Например, 49 не делится на 2, 3 и 5, но делится на 7, поэтому является составным.
Как быстро определить, что большое число является составным?
Нужно искать хотя бы один дополнительный делитель, используя признаки делимости и проверку возможных делителей. Если такой делитель найден, число сразу является составным.
6.2. Простые и составные числа
