6.1. Делители и кратные

Определения и обозначения

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель 12, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает узнавать, на какие числа можно разделить число ровно.

Кратное числа — число, которое делится на данное число без остатка. Например, 20 — кратное 5, так как 20 : 5 = 4. Кратное можно записать через произведение: 20 = 5 · 4.

Делимость — это связь между числами, при которой деление выполняется без остатка. Если 18 делится на 6, результат равен 3, а остатка нет. По делимости можно определить, является ли одно число делителем или кратным другого.

Запись «a делится на b» означает, что при делении a на b получается натуральное число без остатка. Тогда b — делитель числа a, а a — кратное числа b. Например, 24 делится на 8, поэтому 8 — делитель 24, а 24 — кратное 8.

Как это устроено

Делитель и кратное определяют через деление без остатка, потому что именно так можно разделить число на равные части. Если после деления остаётся остаток, число не является делителем. Например, 15 делится на 3 без остатка, а на 4 — с остатком, поэтому 3 является делителем 15, а 4 — нет.

Удобно пользоваться равенством a = b · c. Если произведение b · c равно a, то при делении a на b получится c, а при делении a на c получится b. Значит, b и c — делители a, а a — кратное каждого из них.

У каждого натурального числа есть делители 1 и само это число. Деление на 1 не меняет число: 12 : 1 = 12, поэтому 1 — делитель 12. Само число также делится на себя: 12 : 12 = 1, поэтому 12 — свой делитель.

Чтобы найти все делители, нужно перебирать пары множителей, дающих исходное число. Для 18 сначала получаем 1 · 18, затем 2 · 9 и 3 · 6; после этого новые пары уже не появляются. Из каждой пары выписываем оба числа и не повторяем их.

Кратные получают последовательным умножением данного числа на натуральные числа 1, 2, 3 и дальше. Например, для 6 получаем 6 · 1 = 6, 6 · 2 = 12, 6 · 3 = 18. Процесс не заканчивается, потому что натуральных множителей бесконечно много.

Делители и кратные числа

В таблице сначала найдите, о каком числе говорится: о том, на которое делят, или о результате, который делится. Для проверки делителя выполните деление без остатка, а для проверки кратного — убедитесь, что оно получается умножением данного числа на натуральное число.

Разбор задач

Задача 1. Назвать все делители числа 24

Нужно найти все натуральные числа, на которые 24 делится без остатка. Удобнее не делить 24 на все числа подряд, а подобрать пары множителей с произведением 24.

1. Запишем первую пару: 1 · 24 = 24, значит, 1 и 24 — делители.
2. Проверим следующие пары: 2 · 12 = 24 и 3 · 8 = 24.
3. Получим ещё одну пару: 4 · 6 = 24.
4. Соберём все множители без повторений: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Ответ: делители числа 24 — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

Задача 2. Выписать первые пять кратных числа 7 и определить, является ли 42 кратным 7

Кратные получаются умножением 7 на последовательные натуральные числа. Поэтому начнём с множителей от 1 до 5, а затем отдельно проверим число 42.

1. 7 · 1 = 7.
2. 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21.
3. 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35.
4. Проверим: 42 : 7 = 6, остатка нет.

Ответ: первые пять кратных — 7, 14, 21, 28, 35; 42 является кратным 7.

Задача 3. Выбрать делители и кратные числа 24

Из чисел 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 нужно выбрать две группы. Для делителей проверяем, делится ли 24 на число без остатка, а для кратных — делится ли само число на 24 без остатка.

1. 24 делится без остатка на 3, 4, 6, 8, 12 и 24.
2. Число 18 не подходит: 24 : 18 не является натуральным числом.
3. Среди данных чисел на 24 делится только 24: 24 : 24 = 1.
4. Значит, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 — делители 24, а 24 — кратное 24.

Ответ: делители — 3, 4, 6, 8, 12, 24; кратное — 24.

Типичные ошибки

Путают делитель и кратное: называют 24 делителем 6. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения, хотя 24 : 6 = 4, значит, 24 — кратное 6, а 6 — делитель 24. Проверяйте направление деления: делитель делит другое число.

Считают делителем только число, на которое делят в конкретном примере. Но делителем является любое число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы проверить себя, выполните деление и убедитесь, что остатка нет.

При поиске делителей пропускают числа, потому что проверяют их по одному и останавливаются слишком рано. Нужно записывать пары множителей: у пары 3 · 8 оба числа являются делителями. Так список получается полным.

Иногда записывают конечный список всех кратных. У ненулевого натурального числа кратных бесконечно много, ведь умножение можно продолжать на 6, 7, 8 и так далее. Обычно выписывают только указанное количество первых кратных.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны таблица умножения, смысл деления и остатка, а также связь умножения с делением. Эти знания позволяют быстро проверять равенства и делимость чисел.

Делители и кратные понадобятся при изучении признаков делимости, простых и составных чисел, а также разложения числа на простые множители. Эти темы помогают находить свойства чисел без длинного перебора.

Понятия используются при сокращении дробей, нахождении общего знаменателя и решении задач на распределение. Например, общий делитель помогает сократить дробь, а общее кратное — привести дроби к одному знаменателю.

Что запомнить

• Делитель числа — число, на которое оно делится без остатка.
• Кратное числа — число, которое делится на это число без остатка.
• Если a = b · c, то b и c — делители числа a, а a — кратное b и c.
• Единица является делителем любого натурального числа.
• Само натуральное число является своим делителем.
• Кратные любого ненулевого натурального числа получают умножением на натуральные числа.
• У натурального числа конечное число делителей, а кратных ему чисел бесконечно много.