"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Делители и кратные помогают понять, как связаны числа при делении и умножении. Делитель делит число без остатка, а кратное получается умножением на это число. У каждого натурального числа конечный список делителей, но кратных бесконечно много. Эти понятия нужны, чтобы находить общие делители и кратные, а позднее — работать с дробями и признаками делимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Чтобы узнать, подходит ли число в качестве делителя, достаточно проверить деление. Это понятие помогает выяснить, можно ли разделить предметы на равные группы.
Кратное натурального числа — число, которое получается при умножении данного числа на натуральное число. Например, 18 — кратное 6, так как 6 × 3 = 18. Кратное также можно узнать делением: если оно делится на исходное число без остатка, значит, оно ему кратно. Это удобно, когда нужно найти числа, которые делятся на заданное число.
Общий делитель нескольких чисел — число, которое является делителем каждого из них. Например, 2 — общий делитель чисел 8 и 12: и 8 : 2, и 12 : 2 выполняются без остатка. Такие числа помогают увидеть, на какие равные части можно разделить каждое из данных чисел. Общими называют только те делители, которые подходят всем числам сразу.
Общее кратное нескольких чисел — число, которое является кратным каждого из них. Например, 12 — общее кратное 3 и 4: 12 делится без остатка и на 3, и на 4. Такие числа нужны, когда требуется найти одинаковое количество, составленное из групп разного размера. У нескольких чисел может быть не одно общее кратное.
Чтобы проверить, является ли 5 делителем 20, нужно разделить 20 на 5. Получается 4, остатка нет — значит, 5 подходит. Если бы при делении остался остаток, равные целые группы составить бы не удалось. Поэтому проверка делителя всегда сводится к делению без остатка, а не только к тому, что число кажется подходящим.
Делители числа можно искать, проверяя натуральные числа от 1 до самого числа: других натуральных кандидатов нет. Число, которое больше самого делимого, не может разделить его на целое количество раз, а меньше 1 натуральных чисел нет. Поэтому поиск заканчивается, и делителей всегда конечное количество. При этом 1 и само число обязательно подойдут: любое натуральное число делится на 1 и на себя.
Кратные получают умножением числа на натуральные числа по порядку: сначала на 1, затем на 2, 3 и дальше. Например, кратные 5 начинаются так: 5, 10, 15, 20, 25. Умножитель можно каждый раз увеличивать, поэтому новые кратные не перестают появляться. Значит, положительных кратных у любого натурального числа бесконечно много.
Делитель и кратное описывают одну связь, но смотрят на неё с разных сторон. Если 3 делит 12 без остатка, то 3 называют делителем 12, а 12 — кратным 3. Это следует из равенства 12 = 3 × 4: деление можно заменить умножением. Так проще не перепутать числа: делитель — то, на что делят, а кратное — результат, который делится на него без остатка.
Чтобы найти общие делители, выписывают делители каждого числа и оставляют совпадающие значения. Для общих кратных составляют списки кратных и также ищут совпадения; если требуется наименьшее общее, выбирают наименьшее положительное совпадение. Например, у 6 список начинается с 6, 12, 18, а у 8 — с 8, 16, 24: первым общим будет 24. Списки можно продолжать, пока нужное совпадение не найдено.
| Что рассматриваем | Как определить | Пример для числа 12 | Сколько их |
|---|---|---|---|
| Делитель числа | Делит число без остатка | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | Конечное количество |
| Кратное числа | Получается умножением числа на натуральное число | 12, 24, 36, 48, 60, … | Бесконечно много |
| Общий делитель двух чисел | Делит каждое из двух чисел без остатка | Например, для 12 и 18: 1, 2, 3, 6 | Конечное количество |
| Общее кратное двух чисел | Делится на каждое из двух чисел без остатка | Например, для 12 и 18: 36, 72, 108, … | Бесконечно много |
В таблице приведены делители и первые кратные числа 12, а для общих значений — примеры пары 12 и 18. Чтобы проверить общий делитель или кратное, проверяй условие для обоих чисел, а не только для одного. Многоточие показывает, что список кратных продолжается.
Задача 1. Проверьте, является ли 4 делителем числа 20, и объясните ответ.
Ответ: 4 — делитель 20.
Задача 2. Запишите все делители числа 18 и первые пять положительных кратных числа 6.
Ответ: делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; первые пять положительных кратных 6 — 6, 12, 18, 24, 30.
Задача 3. Найдите все общие делители чисел 24 и 36, а также наименьшее их общее положительное кратное.
Ответ: общие делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12; наименьшее общее положительное кратное — 72.
Ошибка: назвать делителем число, при делении на которое остаётся остаток. Такое случается, если проверяют только деление примерно или путают частное с точным результатом. Для проверки выполни деление и убедись, что остаток равен нулю. Например, 5 не делитель 12, потому что при делении 12 на 5 остаётся 2.
Ошибка: поменять местами делитель и кратное. Если 3 делит 12, то 3 — делитель 12, а 12 — кратное 3; ученики путают их, потому что рассматривают одну связь. Чтобы проверить себя, запиши деление 12 : 3 = 4 или умножение 3 × 4 = 12. Оба действия показывают, какое число делят и какое делится.
Ошибка: не включить 1 или само число в список делителей. Иногда список начинают с 2 или заканчивают числом перед исходным. Проверь крайние варианты: число делится на 1, а также на себя. Например, делители 18 обязательно включают и 1, и 18.
Ошибка: решить, что после нескольких примеров кратные заканчиваются. Такой вывод делают, если останавливаются на первых значениях списка. Проверь, можно ли умножить исходное число на следующее натуральное число: например, после 6 × 5 можно вычислить 6 × 6. Поэтому список кратных продолжится.
Для работы с делителями и кратными нужно уметь делить натуральные числа и определять остаток: именно так проверяют, подходит ли число. Позже эти понятия помогут изучать признаки делимости, а также простые и составные числа. Общие делители пригодятся при сокращении дробей: числитель и знаменатель делят на одно и то же число. Общее кратное помогает привести дроби к общему знаменателю.
Может ли число быть делителем самого себя?
Да. При делении любого натурального числа на само себя получается 1 и остатка нет. Поэтому число является делителем самого себя.
Почему у числа больше делителей, чем кратных?
На самом деле у числа не обязательно больше делителей: делителей конечное количество, а положительных кратных бесконечно много. Делители ищут только среди чисел от 1 до самого числа, а кратные получают, умножая число на 1, 2, 3 и так далее.
Как быстро проверить, является ли число делителем другого?
Раздели большее число на предполагаемый делитель. Если деление выполняется без остатка, проверка пройдена; если остаток есть, делителем это число не является.
В чём разница между общим делителем и общим кратным?
Общий делитель делит без остатка каждое из рассматриваемых чисел. Общее кратное, наоборот, делится без остатка на каждое из них.
Может ли у двух чисел быть несколько общих делителей?
Да, например, у 24 и 36 общими делителями являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Каждый из них делит оба числа без остатка.
3.4. Делители и кратные
