"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Число, на которое делят, называют делителем, а результат умножения делителя на натуральное число — его кратным. Если несколько чисел делятся на одно и то же число, это позволяет находить делимость их суммы, разности и произведения, не выполняя деление целиком. Свойства делимости пригодятся для проверки больших чисел и решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число a делится на натуральное число b без остатка, если существует натуральное число m, такое что a = b · m. Тогда говорят: a делится на b. Например, 12 = 3 · 4, поэтому 12 делится на 3. Это определение помогает заменить проверку деления равенством с умножением.
Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 = 4 · 5. Проверка через умножение помогает убедиться, что деление действительно будет без остатка.
Кратное числа — это число, которое получается при умножении данного числа на натуральное число. Например, 20 — кратное 4, так как 20 = 4 · 5. Так можно перечислять числа, делящиеся на выбранное число: кратные 4 — 4, 8, 12, 16 и далее.
Для одной и той же пары чисел используют несколько равнозначных записей: a делится на b, b — делитель a, a — кратное b. Например, 15 делится на 5, 5 — делитель 15, а 15 — кратное 5. Эти обозначения помогают коротко описывать направление деления и не путать числа местами.
Пусть a и c делятся на b, поэтому их можно записать как a = b · m и c = b · n. При сложении получаем a + c = b · m + b · n = b · (m + n). В скобках стоит натуральное число, значит, сумма тоже представляется как b, умноженное на натуральное число, и делится на b.
Для разности рассуждение похожее: a − c = b · m − b · n = b · (m − n). Если m не меньше n, разность в скобках — натуральное число или ноль, поэтому и разность чисел делится на b. Например, если оба числа делятся на 4, то их положительная разность тоже делится на 4. Важно, что оба числа должны делиться именно на один и тот же делитель.
Если a делится на b, то a = b · m для некоторого натурального m. Умножим a на любое натуральное число k: a · k = b · m · k = b · (m · k). Поскольку m · k — натуральное число, произведение снова имеет вид b, умноженного на натуральное число. Поэтому произведение числа, делящегося на b, на любое натуральное число тоже делится на b.
Если a делится на b, то a = b · m; если b делится на c, то b = c · n. Подставим второе равенство в первое: a = (c · n) · m = c · (n · m). Получилось, что a представлено как c, умноженное на натуральное число, значит, a делится на c. Так работает последовательная делимость.
Свойства помогают разбирать сложное число на более простые части. Если каждое слагаемое делится на нужное число, можно сложить их и заключить, что делится вся сумма; для разности действует такой же подход при выполнении условия о порядке чисел. Для произведения достаточно выделить множитель, который делится на нужное число. Так проверка большого числа заменяется несколькими проверками знакомых чисел.
| Условие | Вывод | Пример |
|---|---|---|
| Сумма чисел, делящихся на одно число | Сумма делится на это число | 12 и 20 делятся на 4; 12 + 20 = 32 делится на 4 |
| Разность чисел, делящихся на одно число | Разность делится на это число | 28 и 12 делятся на 4; 28 − 12 = 16 делится на 4 |
| Произведение числа, делящегося на данное число, на любое натуральное число | Произведение делится на данное число | 15 делится на 5; 15 · 2 = 30 делится на 5 |
| Последовательная делимость чисел | Если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c | 24 делится на 8, 8 делится на 4; 24 делится на 4 |
| Делимость суммы или разности через разложение на слагаемые | Если все части делятся на одно число, их сумма или подходящая разность делится на него | 36 = 20 + 16; оба слагаемых делятся на 4, значит, 36 делится на 4 |
Сначала найдите в таблице условие, которое подходит к задаче, а затем проверьте, выполнено ли оно полностью. После этого используйте вывод и запишите, почему число делится на нужное число. Для разности дополнительно убедитесь, что результат подходит для рассуждения с натуральными числами.
Задача 1. Докажите, что число 348 делится на 4, если известно, что 320 и 28 делятся на 4. Нужно заметить, что эти числа складываются в 348. Значит, можно воспользоваться свойством суммы чисел, делящихся на одно и то же число.
Ответ: 348 делится на 4.
Задача 2. Определите, делится ли 756 на 6, разложив число на удобные слагаемые или множители. Удобно подобрать слагаемые, для которых делимость на 6 легко проверить. Возьмём 750 и 6: оба делятся на 6, поэтому можно применить свойство суммы.
Ответ: 756 делится на 6.
Задача 3. Докажите, что произведение 18 · 35 делится на 6, а затем найдите ещё несколько его делителей. Не нужно проверять делимость всего произведения делением: достаточно заметить, что 18 уже делится на 6. Умножение такого числа на 35 сохраняет делимость на 6.
Ответ: произведение делится на 6; среди его других делителей — 7, 9, 10 и 15.
Ошибка: считать, что сумма делится на число, если на него делится только одно слагаемое. Свойство суммы требует, чтобы на один и тот же делитель делились оба слагаемых, а забывают об этом, замечая только одно подходящее число. Для проверки проверьте делимость каждого слагаемого; например, 6 делится на 3, но 6 + 1 = 7 на 3 не делится.
Ошибка: применять свойство разности, не проверив оба числа. Разность двух чисел делится на b, когда оба числа делятся на одно и то же b; если вычитаемое не делится на b, вывод не гарантирован. Например, 12 делится на 4, а 2 — нет, и разность 12 − 2 = 10 на 4 не делится. Перед выводом проверьте оба числа и порядок вычитания.
Ошибка: путать делитель и кратное, называя большее число делителем меньшего. Это происходит, если не учитывать, какое число на какое делят. Например, 3 — делитель 12, а 12 — кратное 3; проверить направление можно равенством 12 = 3 · 4.
Ошибка: делать вывод, что каждый множитель произведения делится на заданное число. Например, произведение 2 · 3 делится на 6, хотя ни 2, ни 3 на 6 не делятся. Свойство позволяет перейти от делимости одного множителя к делимости произведения, но не наоборот; проверяйте делимость множителей отдельно.
Для этой темы нужны умножение, деление без остатка, понятия делителя и кратного, а также умение представлять число суммой или произведением. Свойства делимости помогут позже изучать признаки делимости, разлагать числа на множители и находить общий делитель или общее кратное. Они полезны и в вычислениях: вместо полного деления большого числа можно подобрать удобные слагаемые или множители и применить знакомое свойство.
Можно ли складывать числа, которые делятся на разные числа?
Складывать их, конечно, можно, но свойство делимости суммы сработает, только если оба слагаемых делятся на одно и то же число. Например, из того, что 6 делится на 3, а 8 делится на 4, нельзя сделать вывод, что сумма делится на 3 или на 4.
Работает ли свойство делимости для разности, если результат отрицательный?
Если оба числа делятся на одно и то же число, их разность тоже делится на него. Например, 6 − 12 = −6, а −6 можно разделить на 3 без остатка. В задачах на натуральные числа обычно берут большее число первым, чтобы разность была неотрицательной.
Почему из делимости произведения не следует делимость каждого множителя?
Множители могут не делиться на нужное число по отдельности, но их произведение может делиться. Например, 2 и 3 не делятся на 6, зато 2 · 3 = 6 делится на 6. Поэтому свойство произведения нельзя применять в обратную сторону без дополнительных условий.
Как понять, какое число является делителем, а какое — кратным?
Делитель — это число, на которое делят без остатка, а кратное получают умножением этого числа на натуральное число. Например, 3 — делитель 12, а 12 — кратное 3, потому что 12 = 3 · 4. Проверяйте направление: делитель меньше или равен делимому.
Можно ли применять несколько свойств делимости подряд?
Да, если на каждом шаге проверять, что условие нужного свойства выполнено. Например, можно сначала доказать делимость одного слагаемого, затем второго, а после этого применить свойство суммы. Так сложную проверку удаётся разделить на несколько простых.
6.3. Свойства делимости
