2. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие нужно, чтобы узнавать, на какие части можно разделить число поровну.

Простое число — натуральное число больше 1, имеющее ровно два делителя: 1 и само это число. Например, у числа 7 делители 1 и 7. По количеству делителей определяют, является ли число простым.

Составное число — натуральное число больше 1, имеющее более двух делителей. Например, у числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Такое определение помогает отличить число, которое можно разложить на множители, от простого числа.

Единица — число, имеющее только один делитель, то есть 1. Она не является ни простым, ни составным числом, потому что не подходит ни под одно из этих определений. Единицу рассматривают отдельно, чтобы не смешивать её с числами больше 1.

Как это устроено

Число 1 выделяют отдельно потому, что у него только один делитель — 1. Для простого числа нужны ровно два делителя, а для составного — больше двух. Поэтому единица не может попасть ни в одну из этих групп, хотя является натуральным числом.

Проверить число перебором делителей можно так: по очереди попробовать разделить его на натуральные числа от 1 до самого числа. Делители дают частное без остатка, а неподходящие числа дают остаток. Затем найденные делители нужно посчитать и сравнить с определениями простого и составного числа.

Простое число нельзя представить произведением двух натуральных чисел, больших 1. Если бы такое произведение существовало, каждый из его множителей был бы делителем числа, а кроме 1 и самого числа появился бы ещё один делитель. У составного числа такая запись возможна, потому что у него есть дополнительный делитель.

Чтобы представить составное число произведением, сначала находят его делитель, отличный от 1 и самого числа. Второй множитель получают делением числа на найденный делитель. Например, для 18 можно взять делитель 3: 18 : 3 = 6, значит, 18 = 3 · 6.

Всякое чётное число больше 2 является составным, потому что оно делится на 2. Число 2 при этом не подходит под это правило: его делители только 1 и 2. Значит, 2 — единственное чётное простое число, а остальные чётные числа больше 2 имеют как минимум три делителя.

Простые, составные числа и единица

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посмотрите на число делителей. Затем сравните результат с признаками: один делитель имеет только единица, два — простое число, больше двух — составное. Пример произведения помогает увидеть, как составное число раскладывается на множители.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли число 7 простым или составным.

Нужно перечислить все делители числа 7. Проверим, делится ли оно без остатка на натуральные числа. Если останутся только 1 и само число, 7 будет простым.

1. Число 7 делится на 1 и на 7.
2. На числа 2, 3, 4, 5 и 6 оно без остатка не делится.
3. Получились ровно два делителя: 1 и 7.

Ответ: 7 — простое число. Других делителей, кроме 1 и самого числа, у него нет.

Задача 2. Определите, является ли число 15 простым или составным, и укажите его делители.

Ищем делитель числа 15, отличный от 1 и 15. Если такой делитель найдётся, число будет составным. Удобно проверить деление на 3 и затем найти второй множитель.

1. 15 делится на 1, 3, 5 и 15 без остатка.
2. Делитель 3 отличается от 1 и самого числа, значит, число не простое.
3. 15 : 3 = 5, поэтому 15 = 3 · 5.

Ответ: 15 — составное число; его делители: 1, 3, 5 и 15. Запись 15 = 3 · 5 подтверждает, что у него есть множители больше 1.

Задача 3. Из чисел 1, 2, 9, 17, 21 выберите простые и составные.

Для каждого числа проверим делители. Единицу сразу рассмотрим отдельно, потому что у неё особое свойство. У остальных чисел найдём, есть ли делитель помимо 1 и самого числа.

1. 1 имеет только один делитель, поэтому не относится ни к одной группе.
2. 2 имеет делители 1 и 2, значит, это простое число.
3. 9 делится на 3, а 21 делится на 3 и 7, поэтому оба числа составные.
4. 17 делится только на 1 и 17, значит, оно простое.

Ответ: простые числа — 2 и 17; составные числа — 9 и 21. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Типичные ошибки

Считать 1 простым числом. Так ошибаются, потому что 1 делит любое число. Проверьте количество делителей: у 1 он только один, а у простого числа должно быть ровно два.

Называть число составным, если нашли только 1 и само число. Эти два делителя, наоборот, являются признаком простого числа. Пересчитайте делители и попробуйте найти дополнительный делитель без остатка.

Путать делитель с кратным. Делитель делит данное число без остатка, а кратное получается умножением числа на натуральное число. Для самопроверки спросите: делим мы число или получаем новое умножением?

Считать любое чётное число составным. Исключение — число 2: оно чётное, но имеет только два делителя, 1 и 2. Поэтому в условии всегда проверяйте, больше ли чётное число 2.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны натуральные числа, а также умножение и деление без остатка. Без этих знаний трудно находить делители и проверять, делится ли число нацело.

Свойства простых и составных чисел пригодятся при разложении чисел на простые множители. Они также помогают искать общие делители и кратные нескольких чисел, что используется в задачах на делимость.

Что запомнить

• Простые и составные числа больше 1.
• У простого числа ровно два делителя: 1 и само число.
• У составного числа больше двух делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Составное число можно представить произведением двух натуральных чисел, больших 1.
• Число 2 — единственное чётное простое число.