1. Делители и кратные

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель 12, потому что 12 : 3 = 4. Перечень делителей помогает увидеть, на какие равные группы можно разделить предметы.

Кратное натурального числа — число, которое делится на данное число без остатка. Например, 20 кратно 5, потому что 20 : 5 = 4. По кратным удобно искать числа, которые подходят для равного деления или повторяющихся действий.

Общий делитель нескольких чисел — число, которое является делителем каждого из них. Например, 3 — общий делитель 12 и 18: оба числа делятся на 3 без остатка. Это понятие помогает находить одинаковые размеры групп для разных количеств.

Общее кратное нескольких чисел — число, которое кратно каждому из них. Например, 36 — общее кратное 12 и 18, ведь оно делится на оба числа без остатка. Такие числа помогают свести разные повторяющиеся действия к одному общему моменту.

Как это устроено

Делимость связывает делимое, делитель и частное через умножение. Если число a делится на b без остатка, значит, его можно представить как a = b · c, где c — натуральное число. Это следует из проверки деления: остатка нет именно тогда, когда делитель, умноженный на частное, даёт делимое. Поэтому b и c являются делителями a, а a — кратное обоих множителей.

Чтобы найти все делители числа, проверяй, какие натуральные числа делят его без остатка. Удобнее искать сразу пары множителей: например, для 12 это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Дальше достаточно проверять числа до квадратного корня из 12: после середины пары начнут повторяться в обратном порядке. Если нашёл один множитель, обязательно запиши и второй, иначе часть делителей потеряется.

Кратные получают умножением данного числа на натуральные числа: сначала на 1, потом на 2, на 3 и так далее. Например, кратные 4 начинаются так: 4, 8, 12, 16. Каждое следующее произведение становится больше предыдущего, потому что множитель увеличивается. Натуральных множителей бесконечно много, поэтому список кратных не заканчивается.

Число 1 имеет ровно один делитель — 1: произведение двух натуральных чисел равно 1 только в случае 1 · 1. У простого числа ровно два делителя: 1 и само число, например у 7 это 1 и 7. У составного числа есть и другие делители: у 8 это 1, 2, 4 и 8. Так различают числа, которые нельзя разложить на меньшие натуральные множители, и числа, у которых такое разложение есть.

Чтобы найти общие делители, выпиши делители каждого числа и оставь те, которые встречаются во всех списках. Например, общие делители 12 и 18 — 1, 2, 3 и 6. Для общих кратных выписывай кратные чисел и сравнивай списки: например, 36 делится и на 12, и на 18. Списки кратных бесконечны, поэтому при поиске наименьшего общего кратного достаточно остановиться на первом совпадении.

Делители и кратные натурального числа

Сначала определи, что именно требуется: числа, которые делят данные, или числа, которые делятся на них. Для общего делителя сравнивай готовые списки делителей, а для общего кратного — списки кратных. Если нужно наименьшее общее кратное, найди первое совпадение в возрастающих списках.

Разбор задач

Найди все делители числа 18.

Ищем пары натуральных множителей, произведение которых равно 18. Когда проверка дойдёт до середины, пары начнут повторяться, поэтому важно не пропустить второй множитель каждой пары. Проверим числа от 1 до 4: большего целого числа меньше квадратного корня из 18 нет.

1. 1 делит 18, парный множитель — 18: 1 · 18 = 18.
2. 2 делит 18, парный множитель — 9: 2 · 9 = 18.
3. 3 делит 18, парный множитель — 6: 3 · 6 = 18.
4. 4 не делит 18 без остатка, поэтому новых делителей нет.

Соберём числа из найденных пар и запишем их по возрастанию. Каждое из них делит 18 без остатка, а остальные числа до середины проверены и не подошли. Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Выпиши первые пять положительных кратных числа 7 и найди среди них кратное 35.

Кратные 7 получаются, если умножать 7 на последовательные натуральные числа. Для первых пяти берём множители от 1 до 5. Затем проверим, делится ли каждое найденное число на 35 без остатка.

1. Вычисляем 7 · 1 = 7, 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35.
2. Записываем пять чисел по порядку: 7, 14, 21, 28, 35.
3. Проверяем последнее: 35 : 35 = 1, значит, оно кратно 35.

В полученном списке остальные числа меньше 35 и на 35 без остатка не делятся. Значит, среди первых пяти положительных кратных 7 подходит только последнее число. Ответ: 7, 14, 21, 28, 35; кратное 35 — 35.

Найди все общие делители чисел 24 и 36 и наименьшее общее положительное кратное.

Для общих делителей сравним списки делителей, а для общего кратного — списки кратных. Кратные удобнее проверять по порядку, чтобы первое совпадение оказалось наименьшим. Так можно найти ответ, не пытаясь перечислить бесконечный список целиком.

1. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Совпадают 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
3. Кратные 24: 24, 48, 72, …; кратные 36: 36, 72, … . Первое совпадение — 72.

Все найденные общие делители присутствуют в обоих списках делителей, а 72 делится и на 24, и на 36. Более раннего совпадения в списках кратных нет. Ответ: общие делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12; наименьшее общее положительное кратное — 72.

Типичные ошибки

Делитель и кратное иногда меняют местами: говорят, что 12 — делитель 3, хотя 3 делит 12. Путаница возникает из-за того, что в записи участвуют одни и те же числа. Проверка простая: делитель должен делить данное число, а кратное само должно делиться на данное.

Правило «1 делит любое число» и правило «число делится на себя» обычно дают два разных делителя. Но для числа 1 оба правила указывают на одно число — 1, поэтому второго делителя не появляется. Ошибку легко проверить, если выписать делители числа 1 и убедиться, что других натуральных делителей нет.

При поиске делителей можно проверить числа меньше квадратного корня и забыть парные множители. Например, найдя 2 как делитель 18, нужно также записать 9, потому что 2 · 9 = 18. Для проверки составляй пары с произведением, равным исходному числу, и собирай оба числа из каждой пары.

Иногда пытаются выписать все кратные, будто список когда-нибудь закончится. Это невозможно: к любому полученному кратному можно прибавить ещё одно данное число и получить следующее. Поэтому выписывай первые несколько кратных или остановись, когда выполнено условие задачи, например найдено первое совпадение.

Связь с другими темами

Чтобы находить делители и кратные, нужно уверенно умножать и делить натуральные числа, а также понимать, что значит деление с остатком. Делители пригодятся при сокращении дробей: числитель и знаменатель делят на общий делитель. Общие кратные помогают приводить дроби к общему знаменателю. Кратность также встречается в задачах о повторяющихся событиях и равном распределении предметов по группам.

Что запомнить

• Если a = b · c, то b и c — делители a, а a — кратное b и c.
• У каждого натурального числа есть делители 1 и само это число.
• Кратных любого натурального числа бесконечно много.
• Общий делитель делит каждое из рассматриваемых чисел.
• Общее кратное делится на каждое из рассматриваемых чисел.
• Число 1 имеет единственный делитель — 1.