"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Делимость натуральных чисел показывает, можно ли разделить одно число на другое без остатка. Она помогает находить делители и кратные, проверять свойства сумм и разностей, а также обосновывать решения задач. Главное правило записывают так: a = b · k, где k — натуральное число. Из него следуют основные свойства делимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимость натуральных чисел означает, что число a делится на число b без остатка, если существует натуральное число k, для которого a = b · k. Например, 20 = 5 · 4, поэтому 20 делится на 5. Такая запись помогает проверять делимость не только делением, но и поиском подходящего множителя.
Делитель числа — это число b, на которое число a делится без остатка. В равенстве 20 = 5 · 4 число 5 является делителем 20, как и 4. Понятие делителя нужно, чтобы перечислять числа, которые входят в состав данного числа без остатка.
Кратное числа — это число a, которое делится без остатка на число b. Например, 20 — кратное 5, потому что 20 = 5 · 4. Значит, делитель и кратное связаны одной парой: если a делится на b, то b — делитель a, а a — кратное b.
Равенство a = b · k объясняет, почему делимость можно проверять поиском множителя. Если удалось представить a как произведение b и натурального k, остатка при делении не будет. Например, 42 = 7 · 6, поэтому 42 делится на 7.
Пусть a и b делятся на одно число c. Тогда можно записать a = c · m и b = c · n. При сложении получаем a + b = c · m + c · n = c · (m + n), поэтому общий делитель c сохраняется: он просто выносится за скобки.
Для разности рассуждение такое же, но результат должен быть натуральным. Если a = c · m, b = c · n и a > b, то a − b = c · m − c · n = c · (m − n). Число c остаётся множителем, потому что его можно вынести за скобки.
Если a делится на b, то a = b · k. Умножим обе части равенства на натуральное число c: a · c = b · k · c = (b · c) · k. Значит, при умножении и делимого, и делителя на один и тот же множитель делимость не исчезает.
Цепочка делимости основана на последовательной замене чисел произведениями. Если a = b · m, а b = c · n, то a = (c · n) · m = c · (n · m). Следовательно, a представлено как произведение c и натурального числа, поэтому a делится на c.
| Условие | Вывод | Пример |
|---|---|---|
| a и b делятся на c | a + b делится на c | 12 и 18 делятся на 6, поэтому 30 делится на 6 |
| a и b делятся на c, причём a > b | a − b делится на c | 18 и 12 делятся на 6, поэтому 6 делится на 6 |
| a делится на b | a · c делится на b · c | 12 делится на 4, поэтому 36 делится на 12 |
| a делится на b, b делится на c | a делится на c | 24 делится на 8, а 8 делится на 4, поэтому 24 делится на 4 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите в условии подходящую строку. Затем проверьте все её условия: например, для разности нужно убедиться, что первое число больше второго. После этого примените вывод и при необходимости запишите короткое доказательство через произведения.
Нужно доказать делимость суммы, поэтому проверим делимость каждого слагаемого на 5. Числа 35 и 25 можно представить как произведения с множителем 5. Значит, подходит свойство суммы чисел, делящихся на одно и то же число.
Ответ: 35 + 25 делится на 5.
Дано, что 42 делится на 7, значит, 42 = 7 · k для некоторого натурального k. Здесь k = 6. Умножим исходное равенство на 3, чтобы одновременно изменить и делимое, и делитель.
Ответ: 42 · 3 делится на 7 · 3, то есть 126 делится на 21.
Здесь делимость дана двумя последовательными шагами. Представим каждую из них произведением, чтобы увидеть общий множитель 3. Затем объединим множители и получим представление числа 120 как произведения 3 и натурального числа.
Ответ: 120 делится на 3. Это пример передачи делимости по цепочке.
Ошибка: считать, что если сумма двух чисел делится на c, то каждое слагаемое тоже делится на c. Так думают из-за смешения прямого и обратного утверждений: например, 5 + 7 = 12 делится на 2, но 5 и 7 по отдельности на 2 не делятся. Проверяйте свойство только в направлении от делимости слагаемых к делимости суммы.
Ошибка: применять свойство разности, не проверив её натуральность. Условие a > b нужно потому, что рассматривается натуральная разность a − b. Перед решением сначала вычтите меньшее число из большего и убедитесь, что результат подходит по условию.
Ошибка: умножать только делимое или только делитель. Из a = b · k следует сохранение делимости лишь после умножения обеих частей на один и тот же множитель c. Запишите новое равенство и проверьте, что оно имеет вид a · c = (b · c) · k.
Ошибка: путать делитель и кратное. Если a делится на b, то b — делитель a, а a — кратное b, а не наоборот. Чтобы проверить себя, спросите: «На какое число делят?» — это делитель.
До изучения делимости нужно уметь выполнять деление с остатком и понимать умножение как объединение одинаковых групп. Тогда запись a = b · k становится понятной.
Делители и кратные понадобятся при разложении чисел на простые множители и нахождении общего делителя. Эти понятия помогают сравнивать числа и искать общие части их состава.
Свойства делимости служат основой для признаков делимости и решения задач на натуральные числа. С их помощью можно обосновать ответ, а не только получить его вычислением.
Как проверить, делится ли одно натуральное число на другое без остатка?
Нужно найти натуральное число k, для которого выполняется равенство a = b · k. Если такой множитель найден, то a делится на b без остатка. Можно также выполнить деление и проверить, что остаток равен нулю.
Почему сумма чисел, делящихся на одно и то же число, тоже делится на него?
Если a = c · m, а b = c · n, то a + b = c · m + c · n = c · (m + n). Значит, общий делитель c можно вынести за скобки, и сумма снова представляется как произведение c на натуральное число.
Можно ли применять свойство разности, если результат равен нулю?
В сформулированном свойстве разность должна быть натуральным числом, а ноль обычно не относят к натуральным числам в этом курсе. Поэтому для нулевой разности это свойство не применяют автоматически.
Что изменится, если умножить и делимое, и делитель на одно число?
Делимость сохранится. Если a = b · k, то a · c = (b · c) · k, поэтому a · c делится на b · c.
Как не перепутать делитель и кратное?
В равенстве a = b · k число b называют делителем числа a, а число a — кратным числа b. Удобно спрашивать себя: «На что делят?» Это делитель, а результат или исходное число в такой записи — кратное.
§ 2. Основные свойства делимости натуральных чисел.
