"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Если a делится на b, значит, число a можно записать как произведение b и натурального числа k: a = b · k. Число b в таком случае называют делителем a, а a — кратным b. Свойства делимости позволяют делать выводы о суммах, разностях и произведениях, не выполняя деление больших чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число a делится на число b, если его можно представить в виде произведения b на натуральное число: a = b · k. Здесь k — натуральный множитель, который показывает, сколько раз число b содержится в a. Например, 18 = 6 · 3, значит, 18 делится на 6 без остатка. Такое представление помогает проверить делимость, не выполняя деление столбиком.
Если a делится на b без остатка, то b называют делителем числа a. Например, 6 — делитель числа 18, потому что 18 = 6 · 3. Поиск делителей помогает узнать, на какие числа можно разделить данное число нацело. Число b должно быть натуральным и не равным нулю.
Если a делится на b без остатка, то a называют кратным числа b. Например, 18 — кратное 6, потому что 18 = 6 · 3. Значит, слова «делитель» и «кратное» описывают одну связь с разных сторон: b — делитель a, а a — кратное b. Это удобно помнить, чтобы не перепутать, какое из чисел делят.
Запись a ⋮ b читают «a делится на b». Она означает, что существует натуральное k, для которого a = b · k. Например, 20 ⋮ 5, поскольку 20 = 5 · 4. Знак ⋮ позволяет коротко записывать условие задачи, а равенство-представление — обосновывать его.
Равенство a = b · k сразу подтверждает делимость a на b: при делении произведения на один из множителей получается другой множитель, то есть k. Остатка не возникает, потому что a составлено из целого числа групп по b. Например, если a = 7 · 4, то при делении a на 7 получается 4. Поэтому множитель k не просто обозначение, а доказательство того, что деление выполняется нацело.
Пусть два числа делятся на b: a = b · m и c = b · n. Тогда их сумма равна a + c = b · m + b · n, а общий множитель b можно вынести: a + c = b · (m + n). Число m + n натуральное, значит, сумма представлена как b, умноженное на натуральное число. По той же причине разность при a ≥ c равна b · (m − n): условие порядка нужно, чтобы m − n было натуральным или нулём; если разность положительна, она делится на b. Для натуральных чисел и положительной разности это условие обеспечивает нужное представление.
Если a делится на b, то a = b · m. Умножим обе части на натуральное c: a · c = b · m · c = b · (m · c). Произведение m · c — натуральное число, поэтому a · c тоже представлено как b, умноженное на натуральный множитель. Значит, оно делится на b, даже если само вычисление a · c было бы неудобным.
Если a делится на b, а b делится на c, то существуют натуральные m и n: a = b · m и b = c · n. Подставим второе равенство в первое: a = (c · n) · m = c · (n · m). Получилось представление a в виде произведения c на натуральное число, поэтому a делится на c. Так делимость передаётся от числа a к числу c через общий промежуточный делитель b.
Эти рассуждения позволяют узнавать делимость, не вычисляя полностью большие числа. Сначала найди в условии числа, которые делятся на одно и то же b, или цепочку a ⋮ b и b ⋮ c. Затем выбери подходящее свойство и запиши произведения с общим множителем. Если нужные условия выполнены, вывод следует из равенства, даже когда сами числа велики.
| Условие | Вывод | Обоснование через произведение |
|---|---|---|
| a ⋮ b и c ⋮ b | a + c ⋮ b | a = b · m и c = b · n, значит a + c = b · (m + n) |
| a ⋮ b и c ⋮ b, причём a ≥ c | a − c ⋮ b | a = b · m и c = b · n, значит a − c = b · (m − n) |
| a ⋮ b | a · c ⋮ b | a = b · m, значит a · c = b · (m · c) |
| a ⋮ b и b ⋮ c | a ⋮ c | a = b · m и b = c · n, значит a = c · (n · m) |
Сначала проверь, что выполнены условия нужной строки: например, для разности сравни a и c. Затем прочитай вывод и обоснование, обращая внимание на общий множитель. Буквы m и n обозначают натуральные множители, а не новые условия задачи.
Задача 1. Известно, что 36 делится на 6, а 24 делится на 6. Объясните, почему 36 + 24 делится на 6. Нужно не просто сложить числа, а показать, что сумма тоже имеет вид 6 · k. Для этого представим каждое слагаемое как произведение 6 и натурального числа.
Получили произведение 6 на натуральное число 10. Значит, сумма делится на 6 без остатка. Ответ: 36 + 24 делится на 6.
Задача 2. Докажите, что 84 − 30 делится на 6, не выполняя деление разности на 6. Здесь подходит свойство разности, если оба числа делятся на 6 и уменьшаемое не меньше вычитаемого. Проверим оба условия, не вычисляя частное от разности.
Разность представлена как произведение 6 на натуральный множитель, поэтому делится на 6. Само вычитание для доказательства делимости выполнять не требовалось. Ответ: 84 − 30 делится на 6.
Задача 3. Известно, что 126 делится на 9, а 9 делится на 3. Докажите, что 126 делится на 3. Здесь числа образуют цепочку: первое делится на второе, а второе — на третье. Чтобы применить свойство, запишем оба условия через произведения.
Множитель n · m натуральный, значит, 126 представлено как произведение 3 на натуральное число. Это и доказывает делимость. Ответ: 126 делится на 3.
Иногда считают, что если a делится на b, то и b делится на a. Это путает направления: при 18 ⋮ 6 число 6 — делитель, а 18 — кратное; обратное деление обычно не выполняется нацело. Проверяй себя по равенству a = b · k: делитель — множитель справа, а кратное — число слева.
Свойство разности применяют, не сравнив уменьшаемое и вычитаемое. Ошибка возникает, если забыть, что речь идёт о натуральной разности: при a < c выражение a − c не является натуральным числом. Перед применением свойства проверь a ≥ c, а затем убедись, что оба числа делятся на один и тот же b.
Ещё одна ошибка — переносить свойство суммы на произведение или делать вывод без подходящего условия. Сумму обосновывают вынесением общего множителя, а произведение — записью a · c = b · (m · c), если a = b · m. Само сходство слов не является доказательством: выбери нужное свойство и выпиши равенства.
Из того, что сумма делится на b, не следует, что каждое слагаемое делится на b. Например, 1 + 5 = 6 делится на 3, хотя ни 1, ни 5 на 3 не делятся. Чтобы проверить себя, не меняй местами условие и вывод свойства: оно гарантирует делимость суммы при делимости слагаемых, но не наоборот.
Для работы с делимостью нужно уверенно умножать и делить натуральные числа, понимать, что значит деление без остатка, и уметь записывать произведение. Представление a = b · k связывает деление с умножением и служит основой доказательств. Свойства делимости пригодятся при поиске делителей и кратных, упрощении вычислений и изучении признаков делимости. Позже они помогут разлагать числа на множители.
Что значит, что одно натуральное число делится на другое?
Это значит, что первое число можно представить как произведение второго числа и натурального множителя: a = b · k. При делении a на b остатка не будет.
Чем делитель отличается от кратного?
Если a делится на b, то b — делитель числа a, а a — кратное числа b. Это связанные понятия, но они относятся к разным числам и не означают одно и то же.
Почему сумма двух чисел, делящихся на одно и то же число, тоже на него делится?
Каждое слагаемое можно записать как произведение общего делителя и натурального числа. При сложении общий делитель выносится за скобки, поэтому сумма тоже представляется как его произведение на натуральное число.
Можно ли применить свойство разности, если вычитаемое больше уменьшаемого?
Для натуральных чисел в этом свойстве уменьшаемое должно быть не меньше вычитаемого. Иначе разность не будет натуральным числом, поэтому сначала проверь порядок чисел.
Если сумма делится на число, обязательно ли каждое слагаемое делится на него?
Нет, обратное утверждение неверно. Например, 1 + 5 = 6 делится на 3, но ни 1, ни 5 на 3 без остатка не делятся.
§ 2. Основные свойства делимости натуральных чисел.
