"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Натуральные числа больше единицы делятся на простые и составные. У простого числа ровно два натуральных делителя: 1 и оно само; у составного есть и другие делители. Число 1 выделяют отдельно: у него только один натуральный делитель, поэтому оно не относится ни к одной из этих групп. Умение находить простые и составные числа помогает раскладывать числа на множители и искать общие делители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа в этом курсе — это числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3, 4 и так далее. Среди них отдельно рассматривают число 1: оно не считается ни простым, ни составным. Такое разделение помогает правильно распределять остальные натуральные числа по двум группам.
Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Например, у числа 5 есть два натуральных делителя: 1 и 5. Определение позволяет проверить, не делится ли число ещё на что-нибудь, прежде чем назвать его простым.
Составное число — это натуральное число больше 1, у которого есть делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 8 делится на 2 без остатка, поэтому оно составное. Это определение помогает отличать числа, которые можно разделить на меньшие натуральные множители.
Число a является делителем числа b, если b делится на a без остатка. Например, 3 — делитель 12, потому что 12 : 3 = 4. Понятие делителя нужно, чтобы устанавливать, простое число или составное: для этого считают его натуральные делители.
Единицу выделяют отдельно, потому что у неё только один натуральный делитель — 1. Простое число должно иметь ровно два различных натуральных делителя, а составное — больше двух. Единица не подходит ни под одно определение, поэтому её нельзя включать ни в одну группу.
Чтобы проверить число, последовательно ищут его натуральные делители, кроме 1 и самого числа. Можно делить число на 2, 3, 4 и другие подходящие натуральные числа и смотреть, остаётся ли остаток. Если делитель найден, число составное; если подходящего делителя нет, число простое. Проверка нужна потому, что деление на 1 и само число ничего не доказывает: оно выполняется для любого числа.
Для вывода о составном числе достаточно найти один делитель, отличный от 1 и самого числа. Вместе с 1 и самим числом такой делитель уже даёт как минимум три разных делителя. Значит, условие простого числа нарушено, и дальнейший поиск для классификации не нужен.
Разложение числа на множители показывает, какие числа при умножении дают исходное число. Например, 15 = 3 · 5, поэтому 3 и 5 — его делители, а 15 составное. Если число можно представить произведением двух натуральных чисел, больших 1, у него есть дополнительные делители. У простого числа такого разложения нет, если не считать умножение на 1.
Чётное число делится на 2 без остатка. Если оно больше 2, то 2 — делитель, отличный и от 1, и от самого числа, поэтому такое число составное. Исключение — число 2: оно делится только на 1 и на себя. Этот признак делимости помогает быстро определить, что чётное число больше двух не простое.
| Признак | Простое число | Составное число | Число 1 |
|---|---|---|---|
| Сравнение с единицей | Больше 1 | Больше 1 | Равно 1 |
| Количество натуральных делителей | Ровно два | Больше двух | Один |
| Какие делители есть | 1 и само число | 1, само число и хотя бы один другой | Только 1 |
| Примеры | 2, 5, 13 | 4, 9, 21 | 1 |
| Статус в классификации натуральных чисел | Относится к простым | Относится к составным | Не относится ни к одной группе |
Сначала проверь, больше ли число единицы, а затем посчитай его натуральные делители. Два делителя означают, что число простое; больше двух — что составное. Единицу рассматривай отдельно.
Задача. Определить, является ли число 13 простым, и обосновать ответ.
Ответ: 13 — простое число.
Задача. Определить, является ли число 21 простым или составным.
Ответ: 21 — составное число.
Задача. Среди чисел 1, 2, 9, 17 и 25 распределить простые и составные числа, отдельно указав число, которое не относится ни к одной группе.
Ответ: простые числа — 2 и 17; составные — 9 и 25; отдельно — 1.
Иногда единицу называют простым числом, потому что она делится на 1. Но простое число должно иметь ровно два различных натуральных делителя, а у 1 делитель только один. Проверь число делителей: если он один, это не простое число.
Можно ошибочно решить, что число составное, потому что оно делится на 1 и на само себя. Эти делители есть у любого натурального числа, включая простые. Для вывода о составности найди ещё один делитель, отличный от них; например, у 12 это 2.
Некоторые считают, что все чётные числа простые, потому что они делятся на 2. На самом деле у чётного числа больше 2 делитель 2 отличается и от 1, и от самого числа. Значит, оно составное; проверь, не равно ли число 2.
Простые числа иногда путают с нечётными. Число 2 — чётное и простое, а 9 — нечётное и составное, потому что делится на 3. Проверяй делители, а не только чётность числа: она сама по себе не определяет, простое число или составное.
Чтобы находить простые и составные числа, нужно уметь находить делители и проверять деление без остатка. Это связывает новую тему с делением и таблицей умножения: если произведение двух натуральных чисел равно данному числу, множители являются его делителями. Умение различать простые и составные числа пригодится при разложении чисел на простые множители. Оно также поможет искать общие делители нескольких чисел.
Почему число 1 не считается простым?
У числа 1 только один натуральный делитель — само число 1. Для простого числа нужно ровно два различных натуральных делителя, поэтому единица не является простой.
Как быстро проверить, что число составное?
Найди у числа делитель, отличный от 1 и самого числа. Если такой делитель есть, число составное: оно делится без остатка как минимум на три натуральных числа.
Почему число 2 — простое, хотя оно чётное?
Число 2 делится без остатка только на 1 и на 2, поэтому у него ровно два натуральных делителя. Все чётные числа больше 2 делятся также на 2 и потому составные.
Может ли нечётное число быть составным?
Да. Например, 9 — нечётное число, но оно делится на 3 без остатка. Его делители — 1, 3 и 9, значит, 9 составное.
Нужно ли для доказательства простоты проверить все числа до самого числа?
Нет, делители больше половины числа, но меньше самого числа найти нельзя. Поэтому достаточно проверять возможные делители от 2 до половины числа; если ни один не подошёл, число простое. Для больших чисел можно проверять ещё меньше делителей, но это уже отдельный приём.
2. Простые и составные числа
