"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Делители и кратные помогают увидеть, как связаны числа при умножении и делении без остатка. Если число 24 делится на 6 без остатка, то 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6. У каждого натурального числа есть конечный список делителей, а кратных ему — бесконечно много. Эти понятия нужны, чтобы сравнивать числа и находить общие делители и кратные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число a называют делителем натурального числа b, если b делится на a без остатка. Например, 3 — делитель 12, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает понять, можно ли разделить число на равные части без остатка.
Число b называют кратным натурального числа a, если b делится на a без остатка. Например, 12 — кратное 3, потому что 12 : 3 = 4. По кратным удобно находить числа, которые получаются умножением на одно и то же число.
Общий делитель нескольких чисел — это число, которое является делителем каждого из них. Например, 4 — общий делитель 8 и 12, так как оба числа делятся на 4 без остатка. Общие делители помогают увидеть, на какие равные группы можно разделить несколько количеств.
Общее кратное нескольких чисел — это число, кратное каждому из них. Например, 12 — общее кратное 3 и 4, потому что 12 делится без остатка и на 3, и на 4. Такие числа помогают находить момент, когда повторяющиеся действия совпадут по счёту.
Равенство 24 = 6 · 4 показывает связь делителей и кратных. Если число можно представить как произведение двух натуральных чисел, то каждый множитель делит произведение без остатка: 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Поэтому 6 и 4 — делители 24, а 24 — кратное каждого из них.
Чтобы найти все делители числа, проверяй натуральные числа по порядку: делится ли на них заданное число без остатка. Например, для 12 проверки дают 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Числа 1 и само число обязательно подходят, потому что 12 : 1 = 12, а 12 : 12 = 1. Проверка деления не позволяет включить в список числа, которые только кажутся подходящими.
Делителей у числа конечное количество: их ищут среди натуральных чисел не больше самого числа. А кратных бесконечно много, потому что их получают умножением на натуральные числа: 6, 12, 18, 24 и так далее — это кратные 6. Умножитель можно увеличивать дальше, поэтому список не заканчивается. Если нужно найти только часть кратных, указывай, сколько именно требуется.
Общие делители двух чисел находят, сопоставляя списки их делителей. Например, у 12 делители 1, 2, 3, 4, 6, 12, а у 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Совпавшие числа 1, 2, 3 и 6 делят оба числа без остатка. Сравнение списков помогает не пропустить подходящие значения и не добавить лишние.
Чтобы найти общие кратные, выписывают кратные каждого числа и ищут совпадения. Например, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, а кратные 6: 6, 12, 18, 24. В обоих списках есть 12 и 24, значит, это общие кратные 4 и 6. Списки можно продолжать, потому что общих кратных тоже бесконечно много.
| Что рассматриваем | Делители числа a | Кратные числа a |
|---|---|---|
| Условие | a делит число без остатка | Число делится на a без остатка |
| Как найти | Проверять натуральные числа на делимость | Умножать a на натуральные числа |
| Сколько их | Конечное количество | Бесконечно много |
| Пример для a = 6 | 1, 2, 3, 6 | 6, 12, 18, 24, … |
Сначала определи, какой столбец подходит: делители ищут среди чисел, на которые делится a, а кратные получают умножением a. Затем используй способ из строки «Как найти». Строка «Сколько их» напоминает, почему список делителей можно закончить, а список кратных — нет.
Нужно проверить натуральные числа на делимость на 18. Удобно идти по порядку и записывать только те числа, при делении на которые остатка нет. Не забудь включить 1 и само число.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Общий делитель должен делить без остатка и 24, и 36. Поэтому сначала составим отдельный список делителей каждого числа, а затем сравним списки. Оставим только совпадающие значения.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Общее кратное должно делиться без остатка и на 4, и на 6. Выпишем кратные каждого числа и отметим совпадающие. Так как кратных много, в конце выберем только первые три общих значения.
Ответ: 12, 24, 36.
Иногда считают, что 4 — делитель 18, потому что 18 близко к числу, которое делится на 4. Но близость чисел не имеет значения: делитель должен делить число без остатка. Проверь деление: 18 : 4 не даёт целого результата, поэтому 4 не подходит.
Можно случайно не записать 1 или само число, хотя оба всегда являются делителями натурального числа. Это случается, если проверку начинают не с 1 или заканчивают раньше времени. Проверь список отдельно: деление на 1 и деление числа на себя должны быть без остатка.
Нельзя менять местами делитель и кратное: если 5 — делитель 20, то 20 — кратное 5. Ошибка возникает, когда смотрят только на два числа и забывают, какое из них делят. Для проверки запиши деление: 20 : 5 = 4, значит, 5 делит 20.
Конечный список кратных иногда принимают за полный, хотя кратных бесконечно много. Список из нескольких чисел показывает только те значения, которые успели выписать. Проверь условие задачи: если просят первые три кратных, остановись после трёх, а если нужен полный список, его нельзя закончить.
Чтобы разбираться в делителях и кратных, нужно уметь умножать и делить натуральные числа и понимать, что значит деление без остатка. Если результат деления целый, делитель подходит; если остаётся остаток, нет. Эти понятия пригодятся дальше при изучении признаков делимости и простых чисел. Они также помогают при разложении числа на множители, когда число представляют в виде произведения.
Может ли число быть делителем самого себя?
Да. Любое натуральное число делится на себя без остатка: например, 18 : 18 = 1. Поэтому 18 — делитель 18.
Почему у числа бесконечно много кратных?
Кратные получают, умножая число на натуральные числа. Натуральных чисел бесконечно много, поэтому можно продолжать умножение и получать новые кратные.
Как проверить, является ли одно число делителем другого?
Нужно разделить второе число на первое. Если результат — целое число и остатка нет, первое число является делителем второго.
Чем делитель отличается от кратного?
Делитель делит другое число без остатка, а кратное само делится на данное число. Например, 5 — делитель 20, а 20 — кратное 5.
Как найти общие делители двух чисел?
Сначала выпиши все делители каждого числа. Затем найди числа, которые есть в обоих списках: это и будут общие делители.
1. Делители и кратные
