§ 1. Основные понятия.

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. Считая карандаши, мы получаем натуральное число, показывающее их количество. В принятой здесь договорённости нуль не входит в натуральные числа: он означает отсутствие предметов.

Цифра — знак, с помощью которого записывают число. Используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры нужны, чтобы записывать числа коротко и понятно, а не перечислять предметы каждый раз.

Десятичная запись числа — запись числа с помощью цифр, в которой значение цифры зависит от её места. Например, запись 44 состоит из одинаковых цифр, но первая обозначает 4 десятка, а вторая — 4 единицы. Такое правило позволяет составлять записи чисел разной величины.

Разряд числа — место цифры в записи, определяющее, сколько единиц соответствующего разряда она обозначает. Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи. Зная разряд, можно понять значение каждой цифры и правильно прочитать число.

Как это устроено

Когда мы считаем предметы, каждому предмету соответствует следующий натуральный счёт: один, два, три и так далее. После того как сосчитали несколько предметов, последнее произнесённое число показывает их общее количество. Натуральные числа можно расположить по возрастанию: 1, 2, 3, 4 и дальше. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего, поэтому такой порядок помогает определять, где предметов больше.

Число и цифра связаны, но это не одно и то же. Если на столе лежит пять книг, количество книг — это число, а знак 5 — цифра, которой его записали. Одну цифру можно использовать в разных числах, и её значение не всегда будет одинаковым. Поэтому при чтении важно смотреть не только на знак, но и на его место.

Для записи любого натурального числа достаточно десяти цифр — от 0 до 9. Цифры ставят рядом, и каждая новая позиция справа налево соответствует следующему разряду. Так из ограниченного набора знаков получаются записи любой длины: например, 7, 27, 407 и 12 407. Десятичную запись так называют потому, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда: десять единиц — один десяток, десять десятков — одна сотня.

Разряд определяет значение цифры, потому что каждая позиция отвечает за своё количество единиц. В числе 444 первая справа цифра означает 4 единицы, следующая — 4 десятка, а последняя — 4 сотни. Значит, запись раскладывается на 400, 40 и 4, хотя во всех местах стоит знак 4. Нуль тоже занимает место: в числе 407 он сообщает, что десятков нет, и не даёт цифре 4 переместиться в разряд единиц.

Многозначное число читают по разрядам, объединяя цифры в группы, а не произнося их подряд. Например, 27 406 — это двадцать семь тысяч четыреста шесть. Сравнивать числа тоже нужно по разрядам, начиная с самого старшего, то есть с крайней левой позиции. Если цифры там одинаковы, переходят к следующему разряду; первая различающаяся цифра и определяет, какое число больше.

Разряды и значения цифр в записи числа

В таблице видно, что один и тот же знак 4 означает разное количество в зависимости от разряда. Чтобы определить значение цифры, сначала найдите её место справа налево, а затем умножьте количество единиц этого разряда на цифру. Например, 4 в разряде сотен означает 400.

Разбор задач

Задача 1. Запишите цифрами число, состоящее из 3 десятков и 5 единиц. Надо понять, какую позицию занимает каждое количество: десятки стоят левее единиц. Десятки обозначают первой цифрой, а единицы — второй. Поэтому получаем запись 35.

1. Записываем цифру 3 в разряд десятков: это 30.
2. Справа записываем цифру 5 в разряд единиц: это 5.
3. Объединяем разрядные записи в одно число: 35.

Ответ: 35.

Задача 2. Прочитайте число 27 406 и укажите, сколько в нём единиц каждого разряда. Смотрим на цифры справа налево, потому что разряды начинаются с единиц. Каждую цифру соотносим с её местом, включая нуль. Запись 27 406 читается «двадцать семь тысяч четыреста шесть».

1. Справа стоит 6 — это 6 единиц.
2. Слева от неё стоит 0 — это 0 десятков; дальше 4 означает 4 сотни.
3. Цифра 7 означает 7 тысяч, а 2 — 2 десятка тысяч.

Ответ: в числе 2 десятка тысяч, 7 тысяч, 4 сотни, 0 десятков и 6 единиц.

Задача 3. Сравните числа 58 307 и 58 370 и объясните ответ. Их нельзя сравнивать только по последним цифрам: нужно идти слева направо и проверять разряды по порядку. В разряде десятков тысяч стоят одинаковые цифры 5, в тысячах — одинаковые 8, в сотнях — одинаковые 3. Первое различие появляется в разряде десятков: 0 меньше 7.

1. Сравниваем старшие разряды: 5 = 5, затем 8 = 8 и 3 = 3.
2. Сравниваем десятки: в первом числе 0 десятков, во втором — 7 десятков.
3. Так как 0 меньше 7, первое число меньше второго.

Ответ: 58 307 < 58 370.

Типичные ошибки

Ошибка — считать цифру и число одним и тем же. Так бывает, потому что в простых случаях число записано одной цифрой: например, 5 предметов обозначают цифрой 5. Проверьте себя: в записи 15 число — это всё количество, а цифры — отдельные знаки 1 и 5.

Иногда многозначное число читают, просто называя цифры подряд, и не учитывают разряды. Это происходит, когда внимание сосредоточено на знаках, а не на их местах. Чтобы проверить себя, разложите число на единицы, десятки, сотни и другие разряды и прочитайте получившееся количество.

Нуль могут пропустить, потому что кажется, будто он ничего не обозначает. Но в числе 204 он показывает отсутствие десятков и сохраняет место цифры 4 в разряде единиц. Проверьте запись по разрядам: если убрать нуль, получится 24, то есть совсем другое число.

Нельзя сравнивать многозначные числа по последним цифрам или по отдельным знакам. Такая ошибка появляется, если не учитывать, что старшие разряды важнее младших. Сравните числа слева направо и остановитесь на первой паре разных цифр: она покажет, какое число больше.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно уметь считать предметы и отличать количественный смысл от порядкового. Количественный счёт отвечает на вопрос «сколько?», а порядковый — «который по счёту?». Это помогает понять, что натуральное число показывает количество предметов.

Разрядная запись понадобится при сложении, вычитании, умножении и делении многозначных чисел. Чтобы выполнять такие действия аккуратно, цифры записывают по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками. Тогда легче выполнять вычисления и не смешивать значения цифр.

Натуральные числа и их запись пригодятся при изучении координатного луча и числовых выражений. На луче числа располагают по возрастанию, а в выражениях используют для записи действий и результатов. Умение читать и сравнивать числа помогает уверенно работать с этими темами.

Что запомнить

• Для записи чисел используют десять цифр: от 0 до 9.
• Цифра — знак, число — то, что записывают цифрами.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Нуль в разряде обозначает отсутствие единиц этого разряда.
• При сравнении многозначных чисел сначала сравнивают старшие разряды.