"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Произведение — результат умножения чисел, а его делимость можно часто определить, не выполняя умножение. Оно делится на каждый свой множитель; кроме того, если один или оба множителя делятся на некоторое число, то на него делится и произведение. Для проверки удобно искать нужный делитель в разложении множителей. Но обратное правило неверно: делимость произведения не означает, что каждый множитель делится на то же число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимость — отношение, при котором одно натуральное число делится на другое без остатка. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает понять, можно ли разделить предметы на равные группы без остатка.
Делитель числа — число, на которое данное число делится нацело. Например, 4 — делитель числа 20, так как 20 : 4 = 5. Знание делителей помогает находить общие части чисел и проверять делимость произведений.
Кратное числа — число, которое получается умножением этого числа на натуральное число. Например, 18 — кратное 6, потому что 6·3 = 18. Это понятие показывает, какие числа можно получить из данного числа умножением.
Делимость произведения — правило, которое позволяет установить, делится ли результат умножения на заданное число. Для этого часто не требуется сначала находить само произведение. Достаточно проверить его множители и, если нужно, разложить их на более простые множители.
Произведение a·b делится на каждый из своих множителей. Причина видна в записи: чтобы разделить a·b на a, достаточно получить b, ведь (a·b) : a = b. При делении на b остаётся a. Оба результата — натуральные числа, значит, деление выполняется без остатка.
Если один множитель делится на число c, то и всё произведение делится на c. Пусть первый множитель можно записать как c·k, где k — натуральное число. Тогда (c·k)·b = c·(k·b), то есть произведение содержит c как множитель. Например, 15·8 = (5·3)·8 = 5·24.
Когда оба множителя делятся на одно и то же число, делимость произведения тоже сохраняется. Если a = c·k, а b = c·m, то a·b = (c·k)·(c·m) = c·(c·k·m). После выделения c остаётся натуральное число. Например, 12·18 = (6·2)·(6·3), поэтому произведение можно разделить на 6 без остатка.
Чтобы проверить делимость, не обязательно выполнять умножение. Сначала посмотрите, делится ли на нужное число один из множителей; если нет, разложите множители и найдите подходящие части. Так, для проверки делимости 14·45 на 35 можно выделить 7 из 14 и 5 из 45. Получится 35·(2·9), поэтому делимость доказана.
Обратное рассуждение применять нельзя: если произведение делится на c, это не означает, что каждый множитель делится на c. Например, 2·3 = 6, и 6 делится на 6, но числа 2 и 3 на 6 не делятся. Делитель может получиться из нескольких множителей вместе. Поэтому проверяйте именно произведение, а не делайте вывод о каждом его множителе по отдельности.
| Условие | Вывод | Пример |
|---|---|---|
| Произведение имеет вид a·b | Оно делится на a и на b | 6·7 делится на 6 и на 7 |
| Один множитель делится на c | Произведение делится на c | 15·8 делится на 5 |
| Оба множителя делятся на c | Произведение делится на c | 12·18 делится на 6 |
| Произведение делится на c, но отдельные множители могут не делиться на c | Нельзя заключать, что каждый множитель делится на c | 2·3 делится на 6, но 2 и 3 отдельно на 6 не делятся |
Сначала найдите в таблице условие, которое подходит к задаче, а затем проверьте, можно ли применить его к данным множителям. Если нужный делитель не совпадает с множителем целиком, попробуйте разложить множители на части. Последняя строка напоминает, что вывод о произведении нельзя автоматически переносить на каждый множитель.
Нужно проверить три числа, не вычисляя произведение заранее. Числа 7 и 8 уже являются множителями, поэтому делимость на них известна. Для 6 проверим, можно ли разделить произведение на 6 без остатка.
По правилу произведение делится на каждый свой множитель. Значит, 7·8 делится на 7 и на 8. Для этого не нужно выполнять умножение.
Число 6 не совпадает ни с одним из множителей. Представим 7·8 как 7·(2·4). В произведении есть только один множитель 2, поэтому выделить 6 = 2·3 нельзя.
Можно проверить результат умножением: 7·8 = 56, а 56 : 6 не является целым числом. Значит, произведение на 6 не делится, а на 7 и 8 делится.
Ответ: на 7 и 8 делится, на 6 — нет.
Для каждого делителя подберём множители внутри 18 и 25. Для делимости на 6 нужны множители 2 и 3, а для делимости на 5 достаточно найти множитель 5. Для 10 нужно выделить сразу 2 и 5, то есть записать произведение как 10, умноженное на целое число.
Разложим 18: 18 = 2·9, значит, 18 делится на 2. Поскольку 18 = 6·3, оно также делится на 6, поэтому 18·25 делится на 6.
Число 25 = 5·5, поэтому один из множителей делится на 5. Следовательно, всё произведение 18·25 делится на 5.
Выделим 2 из 18 и 5 из 25: 18·25 = (2·9)·(5·5) = 10·(9·5). Значит, произведение делится на 10 без вычисления его значения.
Ответ: произведение делится на 6, 5 и 10.
Число 35 состоит из множителей 5 и 7. Посмотрим, можно ли найти их среди множителей произведения: 14 содержит 7, а 45 содержит 5. Если собрать их вместе, произведение можно будет представить как 35, умноженное на натуральное число.
Разложим множители: 14 = 7·2, а 45 = 5·9. Это сохраняет значение произведения, но делает нужные части видимыми.
Подставим разложения: 14·45 = (7·2)·(5·9). Переставим множители, чтобы рядом оказались 7 и 5: (7·5)·(2·9).
Так как 7·5 = 35, получаем 14·45 = 35·(2·9). В скобках стоит натуральное число, поэтому исходное произведение делится на 35.
Ответ: 14·45 делится на 35.
Иногда считают, что произведение делится только на первый записанный множитель. Это происходит, если забыть, что при умножении числа можно менять местами: a·b = b·a. Чтобы проверить себя, разделите произведение на каждый множитель по очереди и убедитесь, что каждый раз остаётся другой множитель.
Делитель и кратное часто путают местами. Например, из того, что 24 делится на 6, делают неверный вывод, что 24 — делитель 6. В действительности 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6; проверка проста: делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят.
Ещё одна ошибка — заключать, что каждый множитель делится на делитель произведения. Так думают, потому что правило о делимости произведения ошибочно читают в обратном направлении. Проверьте вывод на примере 2·3: произведение делится на 6, но отдельные множители — нет.
Не всегда нужно сначала умножать большие числа, хотя многие делают это для любой проверки. Такой способ может занять больше времени и привести к ошибке в вычислениях. Сначала поищите нужный делитель среди множителей или разложите их; затем для самопроверки можно выполнить умножение, если это удобно.
Для работы с делимостью нужно понимать деление без остатка, знать, что такое делитель и кратное, и уметь находить произведение. Эти понятия помогают объяснить, почему произведение делится на свои множители и как выделить нужный делитель. Если какое-то из них вызывает затруднение, сначала повторите смысл деления и умножения.
Правила пригодятся при разложении чисел на простые множители и поиске общих делителей. Разложение показывает, из каких частей составлено число, и помогает увидеть общий множитель. Так проще находить числа, на которые делятся сразу несколько выражений.
Делимость произведения используется и при сокращении дробей, и при проверке делимости больших чисел. Умение находить нужный делитель в множителях помогает не выполнять громоздкие вычисления. Это особенно полезно, когда число представлено произведением нескольких чисел.
Обязательно ли вычислять произведение, чтобы проверить его делимость?
Нет, часто достаточно посмотреть на множители. Если один из них делится на нужное число, произведение тоже делится на него. Иногда множители можно разложить и составить из них нужный делитель.
Почему произведение всегда делится на каждый свой множитель?
Произведение a·b уже записано как a, умноженное на b. Значит, оно состоит из целого числа групп по a и также по b, поэтому делится на оба множителя без остатка.
Если произведение делится на число, обязательно ли на него делится один из множителей?
Нет. Например, 2·3 = 6 делится на 6, но ни 2, ни 3 отдельно на 6 не делятся. Делимость произведения не всегда можно перенести на его множители.
Можно ли применять правило, если делитель больше одного из множителей?
Да, если произведение можно представить как этот делитель, умноженный на натуральное число. Например, 2·3 делится на 6, хотя 6 больше каждого из множителей. Проверяйте делимость произведения целиком, а не сравнивайте делитель с одним множителем.
Как доказать делимость произведения на число, которого нет среди его множителей?
Разложите множители на более простые произведения и соберите из них нужное число. Например, 14·45 = (7·2)·(5·9) = 35·(2·9), поэтому произведение делится на 35. Достаточно показать, что после выделения делителя остаётся натуральный множитель.
1. Делимость произведения
