2. Делимость суммы и разности

Определения и обозначения

Сумма делится на число, если её можно разделить на это число без остатка, то есть получить целое частное. Например, 24 + 36 = 60, а 60 : 6 = 10, поэтому сумма делится на 6. Такое определение помогает отличать точное деление от деления с остатком. Оно также подсказывает, что для доказательства нужно показать существование целого частного.

Разность делится на число, если при делении разности на это число получается целое частное. Например, 45 − 18 = 27, а 27 : 9 = 3, поэтому разность делится на 9. Здесь важно, чтобы целым было частное именно всей разности, а не только одного из чисел. Это определение пригодится, когда мы вычитаем два числа, кратных одному и тому же делителю.

Общий делитель двух чисел — это число, на которое делится каждое из них. Например, 6 — общий делитель чисел 24 и 36: оба делятся на 6 без остатка. Если общий делитель есть у слагаемых или у уменьшаемого и вычитаемого, можно применить свойства делимости суммы и разности. Так проще доказывать делимость выражения, не выполняя деление в самом начале.

Как это устроено

Пусть каждое слагаемое делится на одно число, например на 6. В сумме 24 + 36 оба числа делятся на 6, поэтому можно заменить их равными произведениями: 24 = 6 · 4, а 36 = 6 · 6. Получается 24 + 36 = 6 · 4 + 6 · 6, и оба слагаемых суммы содержат множитель 6. Значит, при сложении этот общий множитель можно вынести, а вся сумма будет делиться на 6.

Это рассуждение можно записать для любых чисел. Если a и b делятся на d, то существуют целые числа m и n, для которых a = d · m, а b = d · n. Тогда a + b = d · m + d · n = d · (m + n). Число в скобках целое, поэтому сумма представлена как d, умноженное на целое число, и делится на d. Именно запись в виде произведения показывает причину свойства, а не только результат на примере.

Для разности действует похожее объяснение. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно число d, то их можно записать как d · m и d · n. Тогда разность равна d · m − d · n, а общий множитель выносится: d · (m − n). В скобках снова получается целое число, значит, разность делится на d; проверять делимость только уменьшаемого недостаточно.

Вычитание не убирает общий множитель: из двух чисел, составленных из одинаковых групп по d единиц, остаётся разница целого числа таких групп. Поэтому результат тоже состоит из целого числа групп по d. Например, 45 − 18 = 9 · 5 − 9 · 2 = 9 · (5 − 2) = 9 · 3. Здесь множитель 9 сохраняется, потому что он был и в уменьшаемом, и в вычитаемом.

Нельзя рассуждать в обратную сторону: делимость суммы не означает, что каждое слагаемое делится на тот же делитель. Например, 5 + 7 = 12 делится на 4, хотя ни 5, ни 7 на 4 не делятся. При сложении неделимых на 4 чисел их остатки могут сложиться в число, которое делится на 4. Свойство даёт верный вывод от делимости каждого слагаемого к делимости суммы, но не наоборот.

Делимость суммы и разности

Сначала найди, что известно о каждом числе выражения: делится ли оно на один и тот же делитель. Затем выбери строку для суммы или разности и примени вывод. Таблица не позволяет делать обратный вывод от делимости результата к делимости его частей.

Разбор задач

Докажите, что 24 + 36 делится на 6.

Нужно не просто вычислить сумму, а показать, почему она делится на указанный делитель. Проверим делимость каждого слагаемого на 6. Если оба условия выполняются, можно применить свойство делимости суммы.

1. Проверяем первое слагаемое: 24 : 6 = 4, значит, 24 делится на 6.
2. Проверяем второе слагаемое: 36 : 6 = 6, значит, 36 тоже делится на 6.
3. Оба слагаемых делятся на одно число 6, поэтому их сумма делится на 6. Для проверки можно вычислить её: 24 + 36 = 60, а 60 : 6 = 10.

Ответ: 24 + 36 делится на 6. В доказательстве важны оба шага проверки слагаемых, а не только результат сложения. Свойство применимо, потому что общий делитель у них один и тот же.

Известно, что 45 делится на 9, а 18 делится на 9. Докажите, что 45 − 18 делится на 9.

Здесь 45 — уменьшаемое, а 18 — вычитаемое. По условию каждое из этих чисел делится на 9. Значит, можно использовать свойство делимости разности, не проверяя делимость только одного числа.

1. Записываем числа как произведения 9 на целое число: 45 = 9 · 5, 18 = 9 · 2.
2. Подставляем эти записи в разность: 45 − 18 = 9 · 5 − 9 · 2.
3. Выносим общий множитель: 9 · 5 − 9 · 2 = 9 · (5 − 2) = 9 · 3. Получилось произведение 9 на целое число.

Ответ: разность 45 − 18 делится на 9. Её значение равно 27, и 27 : 9 = 3. Запись через общий множитель объясняет делимость и подтверждает вычисление.

Докажите, что сумма двух последовательных чисел, кратных 7, делится на 7, а затем объясните, можно ли по делимости суммы на 7 заключить, что каждое слагаемое делится на 7.

Сначала применим свойство в прямом направлении: оба числа кратны 7, значит, каждое делится на 7. После этого отдельно проверим обратный вывод. Для проверки достаточно найти пример, в котором сумма делится на 7, а одно или оба слагаемых — нет.

1. Обозначим два последовательных числа, кратных 7, как 7m и 7n, где m и n — целые числа. Тогда каждое слагаемое делится на 7.
2. Складываем: 7m + 7n = 7 · (m + n). Так как m + n — целое число, сумма делится на 7.
3. Проверяем обратное утверждение на примере: 1 + 6 = 7. Сумма делится на 7, но 1 и 6 по отдельности на 7 не делятся.

Ответ: сумма двух чисел, кратных 7, делится на 7; по делимости суммы нельзя заключить, что каждое слагаемое делится на 7. Контрпример показывает, почему обратное утверждение неверно. Прямое свойство при этом остаётся верным.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что для делимости суммы достаточно делимости одного слагаемого. Так кажется, потому что это слагаемое уже содержит нужный множитель, но второе может его не иметь и изменить результат. Проверь делимость обоих слагаемых на один делитель: например, 6 + 5 = 11 не делится на 6, хотя первое слагаемое делится на 6.

Ошибка: применять свойство, когда числа делятся на разные числа. Ученик замечает делимость каждого числа, но забывает, что нужен один общий делитель. Перед выводом назови его для обоих чисел и проверь деление; например, 12 и 18 оба делятся на 6, а значит, именно 6 подходит для применения свойства.

Ошибка: заключать, что каждое слагаемое делится на число, если на него делится сумма. Это путает направление свойства: верный вывод идёт от частей к сумме, а не обратно. Проверь себя примером 5 + 7 = 12: сумма делится на 4, но её слагаемые — нет.

Ошибка: для разности проверять делимость только уменьшаемого. Можно сосредоточиться на первом числе и пропустить условие о втором, хотя при вычитании участвуют оба числа. Проверь деление и уменьшаемого, и вычитаемого на один делитель; только после этого можно применять свойство разности.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в теме, нужно уметь делить с остатком и понимать, что такое делитель и кратное. Представление числа как произведения делителя на целое число помогает записывать доказательство делимости суммы или разности. Эти свойства пригодятся при поиске общих делителей и сокращении дробей: они помогают увидеть, какие числа выражения имеют общий множитель. С их помощью также доказывают делимость целых числовых выражений.

Что запомнить

• Если каждое слагаемое делится на число, то их сумма делится на это число.
• Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то их разность делится на это число.
• Для суммы и разности используют один и тот же делитель.
• Свойства верны и для нескольких слагаемых, если каждое из них делится на одно число.
• Делимость суммы не означает, что каждое слагаемое делится на тот же делитель.
• Обосновать делимость можно, представив числа в виде произведения делителя и целого числа.