§ 3. Признаки делимости натуральных чисел.

Определения и обозначения

Число a делится на число b без остатка, если при делении a : b получается целое число. Например, 12 : 3 = 4, поэтому 12 делится на 3 без остатка. Это понятие помогает отличать точное деление от деления с остатком.

Число b называют делителем числа a, если a делится на b без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Понятие делителя нужно, чтобы называть числа, на которые данное число делится точно.

Число a называют кратным числа b, если a делится на b без остатка. Например, 20 — кратное 4, поскольку 20 : 4 = 5. Значит, одно и то же равенство можно описать так: 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4.

Признак делимости — правило, которое позволяет выяснить, делится ли число на другое, не выполняя деление. Например, по последней цифре можно определить делимость на 2, 5 или 10. Такие правила помогают быстрее проверять числа и находить нужные варианты.

Как это устроено

Десятичная запись показывает число как сумму разрядов: например, 347 = 3 · 100 + 4 · 10 + 7. Для проверки на 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру. Все остальные разряды содержат полные десятки, а десятки делятся на 2, 5 и 10 без остатка.

На 10 число делится, если его последняя цифра — 0: тогда число состоит из целого количества десятков. На 2 оно делится, если последняя цифра чётная, потому что десятки делятся на 2, и остаётся проверить только единицы. На 5 подходят цифры 0 и 5: десятки делятся на 5, а остаток от единиц тоже должен делиться на 5.

Для проверки на 3 и 9 складывают все цифры. Например, 438 = 4 · 100 + 3 · 10 + 8. При делении на 3 или 9 числа 10, 100, 1000 и другие степени десяти дают остаток 1: они отличаются от 1 на число, которое делится на 3 и на 9. Поэтому остаток исходного числа совпадает с остатком суммы его цифр.

Если сумма цифр делится на 3, исходное число делится на 3; для делимости на 9 сумма должна делиться на 9. Если сумма получилась большой, её можно сложить ещё раз: например, 27 даёт 2 + 7 = 9, и результат по признаку не меняется. При проверке по последней цифре ноль подходит для делимости на 2, 5 и 10. Само число 0 также считают делящимся на любое натуральное число: 0 : b = 0.

У одного числа можно проверять несколько делителей по очереди, применяя разные признаки. Например, сначала проверяют последнюю цифру для делимости на 2, затем складывают цифры для проверки на 3. Если число проходит обе проверки, оно делится и на 2, и на 3. Каждый признак отвечает только за свой делитель.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала найдите, на какое число проверяете делимость, и выберите соответствующую строку. Для 2, 5 и 10 смотрите только на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывайте все цифры. Если проверок несколько, примените каждый подходящий признак отдельно.

Разбор задач

Проверьте, делится ли 438 на 2, 5 и 10

Во всех трёх проверках достаточно рассмотреть последнюю цифру числа 438. Это цифра 8. Сравним её с условиями каждого признака, не выполняя деление.

1. Для делимости на 2 последняя цифра должна быть чётной. Цифра 8 чётная, значит, 438 делится на 2.
2. Для делимости на 5 число должно оканчиваться на 0 или 5. Число 438 оканчивается на 8, поэтому на 5 оно не делится.
3. Для делимости на 10 последняя цифра должна быть 0. У числа 438 последняя цифра 8, значит, на 10 оно не делится.

Ответ: 438 делится на 2, но не делится на 5 и 10. Один и тот же разряд проверили по трём разным правилам. Это показывает, почему нужно выбирать признак для конкретного делителя.

Проверьте, делится ли 729 на 3 и на 9

Для обоих делителей нужно найти сумму цифр числа. Складывать будем цифры 7, 2 и 9. Затем сравним полученную сумму с условиями делимости на 3 и на 9.

1. Складываем цифры: 7 + 2 + 9 = 18.
2. Число 18 делится на 3, поэтому 729 делится на 3.
3. Число 18 делится и на 9, поэтому 729 делится на 9.

Ответ: 729 делится и на 3, и на 9. Сумма цифр прошла обе проверки. Если бы она делилась на 3, но не на 9, число делилось бы только на 3.

Найдите цифру вместо звёздочки в числе 4*2, чтобы оно делилось на 2, 3 и 5

Неизвестная цифра может быть любой от 0 до 9, но проверять все варианты сразу не нужно. Начнём с признаков, которые зависят от последней цифры. Если они не выполняются, сумма цифр уже не поможет.

1. Последняя цифра числа 4*2 — это 2, поэтому число делится на 2 при любой цифре вместо звёздочки.
2. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Последняя цифра здесь 2, поэтому число не делится на 5 ни при каком значении звёздочки.
3. Одновременная делимость на 2, 3 и 5 невозможна уже из-за условия делимости на 5. Проверять сумму цифр для делимости на 3 не требуется.

Ответ: такой цифры нет. Проверка последней цифры сразу показала, что условие про 5 не выполняется. Даже подходящая сумма цифр не могла бы изменить этот вывод.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что делимость на 2 зависит от последней цифры целиком, но важно проверить, чётная она или нет. Ошибка возникает, если ученик запоминает только слово «последняя». Проверьте себя: 438 оканчивается на 8, значит, делится на 2, а число, оканчивающееся на 5, — нет.

Для 3 и 9 иногда проверяют последнюю цифру вместо суммы всех цифр. Так делают по привычке, перенося правила для 2, 5 и 10. Чтобы не ошибиться, выпишите и сложите каждую цифру числа, а затем проверьте сумму.

Делимость суммы цифр на 3 принимают за доказательство делимости на 9. Это разные условия: для 9 сумма должна делиться именно на 9. Например, сумма 6 делится на 3, но не на 9, поэтому она подтверждает только делимость на 3.

Признак делимости на 5 применяют к любой цифре числа, хотя он зависит только от последней. Ошибка появляется, если смотреть на цифры по отдельности, не учитывая разряды. Проверьте последнюю цифру: только 0 или 5 дают делимость на 5.

Связь с другими темами

Для изучения признаков делимости нужно уметь делить натуральные числа с остатком и понимать, когда остатка нет. Также пригодятся знания о десятичной записи, разрядах, чётных и нечётных числах. Эти правила помогают быстрее искать делители и кратные. Позже они пригодятся при разложении чисел на простые множители, поиске общих делителей и сокращении дробей.

Что запомнить

• Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
• Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
• Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Для проверки делимости на несколько чисел можно последовательно применять соответствующие признаки.