1. Признаки делимости на 10, на 2 и на 5

Определения и обозначения

Делимость числа означает, что натуральное число при делении на другое даёт целое частное без остатка. Например, 20 делится на 5, потому что 20 : 5 = 4. Это понятие нужно, чтобы определять, можно ли разделить предметы поровну или представить число как произведение других чисел.

Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0. Например, 120 делится на 10, а 123 — нет. Этот признак позволяет проверить делимость без самого деления.

Признак делимости на 2: число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Такие цифры называются чётными. Правило помогает быстро узнать, можно ли разделить число на две равные части без остатка.

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда запись оканчивается цифрой 0 или 5. Например, 45 делится на 5, а 46 — нет. Это удобно при проверке деления и поиске чисел, подходящих под условие задачи.

Как это устроено

В десятичной записи число составлено из разрядных слагаемых: сотен, десятков, единиц и других разрядов. Например, 347 = 300 + 40 + 7. Последняя цифра показывает количество единиц, а остальные цифры образуют десятки и более крупные разряды. Такое разложение помогает понять, почему правила зависят именно от последней цифры.

Каждый разряд, кроме единиц, содержит целое число десятков: 40 — это 4 десятка, 300 — 30 десятков. Поэтому такие слагаемые делятся на 10. Если число делится на 10, оно также делится на 2 и на 5, потому что 10 делится и на 2, и на 5. При проверке общего числа достаточно отдельно разобраться с единицами.

Для делимости на 10 разложим, например, 347 как 340 + 7. Слагаемое 340 делится на 10, а 7 — нет, поэтому 347 на 10 не делится. Если бы последняя цифра была 0, единицы не добавляли бы остатка, и вся сумма делилась бы на 10. Значит, решает последняя цифра: она должна быть нулём.

Для делимости на 2 и на 5 рассуждаем так же: десятки и более крупные разряды уже делятся на оба числа, поэтому проверяем только единицы. Остаток при делении последней цифры на 2 будет нулём у цифр 0, 2, 4, 6 и 8. При делении на 5 без остатка подходят только 0 и 5. Поэтому те же цифры в конце числа определяют делимость всего числа.

Одна последняя цифра может сразу подсказать результат нескольких проверок. Если число оканчивается на 0, оно делится на 10, а значит, и на 2, и на 5. Если число оканчивается на 5, оно делится на 5, но не на 2. Например, по цифре 0 в конце числа 450 сразу определяем все три вида делимости.

Признаки делимости по последней цифре

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите последнюю цифру числа и сравните её с нужной строкой. Если цифра подходит, число делится на указанное число без остатка. Когда в конце стоит 0, подходят сразу все три строки.

Разбор задач

Задача 1. Определите, делятся ли 340, 342 и 345 на 10, на 2 и на 5. Не нужно выполнять три деления для каждого числа: сначала выпишем последнюю цифру, а затем применим правила. Так легче увидеть, чем отличаются результаты.

1. У числа 340 последняя цифра 0. Значит, оно делится на 10, на 2 и на 5.
2. У числа 342 последняя цифра 2. Она подходит для делимости на 2, но не для делимости на 10 или на 5.
3. У числа 345 последняя цифра 5. Поэтому оно делится на 5, но не делится на 10 или на 2.

Ответ: 340 делится на 10, 2 и 5; 342 — только на 2; 345 — только на 5. Каждый результат найден по последней цифре. Делить числа столбиком не потребовалось.

Задача 2. Из цифр 0, 3, 7 составьте все трёхзначные числа, которые делятся на 5; цифры не повторять. Сначала определим, какие цифры могут стоять последними. Затем проверим, что число трёхзначное, то есть первая цифра не равна нулю.

1. Для делимости на 5 последней цифрой может быть 0 или 5. Среди данных цифр есть 0, но цифры 5 нет, поэтому число обязательно оканчивается на 0.
2. В разряде сотен и десятков остаются цифры 3 и 7. Их можно переставить двумя способами: 370 и 730.
3. Оба числа трёхзначные, цифры в каждом не повторяются, а последняя цифра равна 0.

Ответ: 370 и 730. Других вариантов нет, потому что окончание 5 невозможно составить из данных цифр. Записи, начинающиеся с нуля, трёхзначными числами не являются.

Задача 3. Найдите цифру вместо звёздочки в числе 47*, если число должно делиться одновременно на 2 и на 5. Сначала найдём цифры, подходящие каждому условию, а затем оставим только общую. Важно учесть, что цифра 0 подходит обоим признакам.

1. Для делимости на 2 последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8. Значит, звёздочка должна обозначать одну из этих цифр.
2. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. Среди цифр из первого списка подходит только 0.
3. Подставляем 0 и получаем число 470. Оно оканчивается на 0, поэтому делится и на 2, и на 5.

Ответ: звёздочку нужно заменить цифрой 0. Решение только одно, потому что это единственная цифра, которая одновременно подходит обоим признакам. Число 470 также делится на 10.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что для делимости на 10 достаточно чётной последней цифры. Такое предположение возникает из-за того, что чётное число делится на 2, но для деления на 10 этого мало: последняя цифра должна быть именно 0. Проверьте себя, сравнив окончания: 342 — чётное, но на 10 не делится.

Ошибка: путать признаки делимости на 2 и на 5. Цифры 2, 4, 6 и 8 подходят для проверки на 2, но не на 5; цифра 5 подходит для проверки на 5, но не на 2. Чтобы не ошибиться, держите правила раздельно: чётные цифры — для 2, 0 или 5 — для 5.

Ошибка: складывать цифры числа вместо проверки последней цифры. Иногда сумму цифр используют для других признаков делимости, поэтому правило переносят сюда по привычке. Для делимости на 10, 2 и 5 сумма не нужна: посмотрите на разряд единиц. Например, 19 и 28 имеют сумму цифр 10, но на 10 не делятся.

Ошибка: забывать, что 0 — чётная цифра. Из-за привычки считать чётными только цифры от 2 до 8 число с нулём на конце могут не отнести к делящимся на 2. Проверьте все подходящие окончания: 0, 2, 4, 6 и 8. Ноль также означает делимость на 5 и на 10.

Связь с другими темами

Для понимания признаков делимости нужны знания о десятичной записи натуральных чисел, разрядах и делении с остатком. Позже эти правила помогут раскладывать числа на простые множители и находить делители. Они также пригодятся для быстрой проверки результатов вычислений и отбора чисел, которые подходят под заданные условия.

Что запомнить

• На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
• На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8.
• На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
• Для проверки этих признаков достаточно посмотреть на последнюю цифру.
• Число, делящееся на 10, делится также на 2 и на 5.