"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Чтобы проверить, делится ли число на 3 или на 9, не обязательно выполнять деление столбиком: достаточно сложить его цифры. Если полученная сумма делится на нужное число, то и исходное число делится на него нацело. Это правило помогает быстро проверять числа и подбирать неизвестную цифру в записи. Главное — не перепутать признаки: делимость на 9 означает делимость на 3, но делимость на 3 не всегда означает делимость на 9.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма цифр числа — результат сложения всех цифр, из которых оно записано. Например, у числа 372 сумма цифр равна 3 + 7 + 2 = 12. Складывают именно цифры записи, а не разряды и не само число: эта сумма помогает быстро проверить делимость.
Признак делимости на 3 — правило, по которому число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, 372 подходит, потому что 3 + 7 + 2 = 12, а 12 делится на 3. Правило позволяет обойтись без деления столбиком.
Признак делимости на 9 — правило, по которому число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 729 равна 18, а 18 делится на 9. Это помогает быстро отличить числа, которые делятся на 9, от тех, которые делятся только на 3.
Делимость нацело означает, что при делении одного натурального числа на другое не остаётся остатка. Например, 21 делится на 3 нацело, потому что 21 : 3 = 7. Если остаток есть, деления нацело не произошло, и признак делимости не выполнен.
Десятичная запись показывает, сколько в числе единиц, десятков, сотен и других разрядов. Например, 372 = 3 · 100 + 7 · 10 + 2. При делении на 3 и на 9 число 10 даёт остаток 1, потому что 10 = 9 + 1, а также 10 = 3 · 3 + 1. Поэтому 100 = 10 · 10, 1000 = 10 · 10 · 10 и другие степени десяти тоже дают остаток 1 при делении на 3 и на 9.
В записи числа каждая цифра умножается на свою разрядную единицу: единицы, десятки, сотни и так далее. Поскольку каждая разрядная единица при делении на 3 или на 9 даёт остаток 1, произведение цифры на неё даёт такой же остаток, как сама цифра. Значит, число 372 при проверке на остаток ведёт себя так же, как сумма 3 + 7 + 2. То же рассуждение работает для записи числа с любым количеством цифр.
Если остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр, то нулевой остаток у одного означает нулевой остаток у другого. Поэтому исходное число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3. Например, для 372 сумма равна 12, а 12 делится на 3. Значит, 372 тоже делится на 3.
Для проверки делимости на 9 действует такое же рассуждение: разрядные единицы дают остаток 1, поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы цифр. Если сумма цифр делится на 9, то исходное число тоже делится на 9, и наоборот. Например, у числа 729 сумма цифр равна 18, а 18 делится на 9. Следовательно, 729 делится на 9.
Число 9 делится на 3 без остатка, поэтому всякое число, которое делится на 9, делится и на 3. Это видно и по сумме цифр: если она делится на 9, то она делится и на 3. Обратное неверно: сумма может делиться на 3, но не делиться на 9. Например, у числа 21 сумма цифр равна 3, поэтому число делится на 3, но не на 9.
| Что проверяем | Условие делимости | Пример |
|---|---|---|
| Делимость числа на 3 | Сумма цифр числа делится на 3 | 372: 3 + 7 + 2 = 12, число делится на 3 |
| Делимость числа на 9 | Сумма цифр числа делится на 9 | 729: 7 + 2 + 9 = 18, число делится на 9 |
| Связь признаков | Делимость на 9 влечёт делимость на 3, но не наоборот | 27 делится и на 3, и на 9; 21 — на 3, но не на 9 |
Сначала выбери, на какое число нужно проверить делимость, а затем сложи все цифры числа. Сравни сумму с условием в таблице: для проверки на 3 она должна делиться на 3, а для проверки на 9 — на 9. Если сумма делится на 9, можно сделать вывод и о делимости исходного числа на 3.
Задача 1. Определи, делятся ли числа 438, 725 и 1008 на 3 и на 9. Для каждого числа отдельно найдём сумму цифр. Затем проверим каждую сумму на делимость сначала на 3, а потом на 9: эти проверки похожи, но дают не всегда одинаковый результат.
Ответ: 438 делится на 3, но не на 9; 725 не делится ни на 3, ни на 9; 1008 делится и на 3, и на 9. Нули в записи 1008 тоже учитываем как цифры, хотя при сложении они не изменяют сумму. Проверка обоих признаков отдельно помогает не перепутать результаты.
Задача 2. Вместо знака * в числе 45* поставь цифру так, чтобы число делилось на 9. Складываем известные цифры: 4 + 5 = 9. Обозначим неизвестную цифру через x; тогда сумма цифр равна 9 + x и должна делиться на 9. Поскольку x — цифра от 0 до 9, можно подобрать значение, которое подходит этому условию.
Ответ: вместо звёздочки можно поставить 0 или 9: подходят числа 450 и 459. Проверяем именно сумму всех цифр, а не последнюю цифру числа. Две подходящие цифры возможны, потому что и 9, и 18 делятся на 9.
Задача 3. Найди все цифры a, при которых число 7a32 делится на 3, но не делится на 9. Сначала запишем сумму цифр через неизвестную цифру: 7 + a + 3 + 2 = 12 + a. Чтобы число делилось на 3, эта сумма должна делиться на 3. Затем нужно исключить варианты, при которых сумма делится на 9.
Ответ: a = 0, 3 или 9. Для каждого варианта сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Такое последовательное исключение помогает выполнить оба условия задачи.
Первая ошибка — проверять последнюю цифру, как при признаках делимости на 2 или на 5. Последняя цифра здесь не определяет результат, потому что на него влияет вся запись числа. Такая ошибка возникает из-за смешения разных правил. Чтобы проверить себя, сложи все цифры и используй сумму.
Вторая ошибка — считать, что сумма цифр должна быть ровно 3 или ровно 9. На самом деле она может быть равна 6, 12, 18 и другим числам, если делится на нужное число. Путают делимость и равенство числу. Проверка простая: раздели сумму на 3 или на 9 и убедись, что остатка нет.
Третья ошибка — по делимости суммы цифр на 3 сразу заключать, что число делится на 9. Условие на 3 слабее: например, сумма 12 делится на 3, но не на 9. Поэтому проверяй сумму именно на то число, которое указано в вопросе. Если нужны оба признака, выполни две отдельные проверки.
Четвёртая ошибка — неверно складывать цифры или пропускать нули и повторяющиеся разряды. При длинной записи легко не заметить одну цифру или ошибиться в устном счёте. Ноль при сложении не меняет сумму, но его всё равно нужно учитывать, чтобы не потерять соседние цифры. Перепиши цифры по порядку и пересчитай сумму ещё раз.
Для этой темы нужны знания о разрядном составе десятичного числа, делении с остатком и делении нацело. Разрядная запись объясняет, почему можно проверять число через сумму его цифр, а остаток помогает понять само правило. Признаки делимости пригодятся при устных вычислениях, сокращении дробей и разложении чисел на простые множители. Позже похожие правила помогут изучать другие признаки делимости и свойства чисел.
Почему для проверки делимости на 3 и на 9 складывают цифры числа?
В десятичной записи число составлено из цифр, умноженных на разрядные единицы: 1, 10, 100 и так далее. При делении на 3 и на 9 каждая такая разрядная единица даёт тот же остаток, что и 1. Поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр.
Нужно ли складывать цифры повторно, если сумма получилась больше 9?
Не обязательно: можно сразу проверить, делится ли полученная сумма на 3 или на 9. Например, 18 делится на 9, а 12 — нет. Повторное сложение цифр помогает упростить проверку, но нужно применять нужный признак к получившейся сумме.
Как отличить признак делимости на 3 от признака делимости на 9?
Для делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3, а для делимости на 9 — на 9. Например, сумма 12 подходит для проверки на 3, но не на 9. Поэтому один и тот же признак нельзя применять, не уточнив, на какое число проверяется делимость.
Может ли число делиться на 3, но не делиться на 9?
Да. Например, 21 делится на 3, но не делится на 9: сумма его цифр равна 3. Чтобы число делилось на 9, сумма цифр тоже должна делиться на 9.
Как подобрать неизвестную цифру, чтобы число делилось на 3 или на 9?
Сложи известные цифры и обозначь неизвестную цифру буквой или звёздочкой. Подбери её так, чтобы общая сумма делилась на нужное число, и проверь, что получилась именно цифра от 0 до 9. Если требуется делимость на 3, но не на 9, исключи варианты, при которых сумма делится на 9.
2. Признаки делимости на 3 и на 9
