§ 4. Простые числа и делимость.

Определения и обозначения

Число a называют делителем натурального числа b, если b делится на a без остатка. Например, 4 — делитель 28, потому что 28 : 4 = 7. Такое понятие помогает узнать, можно ли разделить число на равные части без остатка.

Число b называют кратным числа a, если b делится на a без остатка. Например, 28 кратно 4, поскольку 28 : 4 = 7. Слова «делитель» и «кратное» описывают одну связь, но с разных сторон: делитель делит, а кратное делится.

Простое число — это натуральное число больше 1, имеющее ровно два делителя: 1 и само это число. Например, у 7 делители только 1 и 7. Определение помогает отличить числа, которые нельзя разделить на меньшие множители, от чисел с дополнительными делителями.

Составное число — натуральное число больше 1, имеющее более двух делителей. У числа 6 есть делители 1, 2, 3 и 6, поэтому оно составное. Проверка делителей показывает, можно ли представить число как произведение меньших натуральных чисел.

Как это устроено

Чтобы проверить делимость, нужно выполнить деление и посмотреть, остаётся ли остаток. Например, 28 : 4 = 7, остатка нет, а 29 : 4 = 7 и остаток 1. В первом случае 4 — делитель 28, а 28 — кратное 4; во втором 4 не является делителем 29. Это две формулировки одной и той же проверки.

У любого натурального числа больше 1 всегда есть делители 1 и оно само. При делении на 1 число не меняется, а при делении на само себя получается 1. Эти два делителя существуют у каждого такого числа, поэтому простым называют то, у которого других делителей нет. Например, у 11 только делители 1 и 11.

Если находится делитель, отличный от 1 и самого числа, число имеет как минимум три делителя и называется составным. Например, 12 делится на 3 без остатка: кроме 1 и 12, его делителями являются 2, 3, 4 и 6. Поэтому для распознавания составного числа достаточно найти хотя бы один дополнительный делитель. Если такого делителя нет, число больше 1 простое.

Число 1 не подходит ни под одно из определений. Оно делится без остатка только на 1, то есть имеет один делитель. Для простого числа требуются ровно два делителя, а для составного — более двух, поэтому единицу выделяют отдельно.

Число 2 — единственное чётное простое. Оно делится на 1 и на 2, а других натуральных делителей у него нет. Любое чётное число больше 2 делится на 2, причём 2 отличается и от 1, и от самого числа. Значит, у такого числа уже есть дополнительный делитель, и оно составное.

Делители и классификация натуральных чисел

Сначала определите, что требуется найти: число, которое делит без остатка, или число, которое делится. Затем проверьте, сколько делителей есть у числа больше 1. Таблица помогает быстро сопоставить термин с его признаком и примером.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, является ли 4 делителем 28, и назовите число 28 по отношению к 4. Чтобы ответить, достаточно проверить, можно ли выполнить деление без остатка. Затем применим к найденной связи оба термина.

1. Делим 28 на 4: 28 : 4 = 7.
2. Получилось целое число, остатка нет, значит, 4 является делителем 28.
3. Число, которое делится на 4 без остатка, называют кратным 4. Следовательно, 28 — кратное 4.

Ответ: 4 — делитель 28, а 28 — кратное 4.

Задача 2. Определите, простые или составные числа 17 и 21. У каждого числа больше 1 уже есть делители 1 и оно само, поэтому ищем другие делители. Для 21 достаточно найти один дополнительный делитель, а для 17 проверим, есть ли такой.

1. Число 21 делится на 3 без остатка: 21 : 3 = 7. Значит, у него есть делитель, отличный от 1 и 21.
2. У числа 17 проверяем возможные делители, кроме 1 и 17. Оно не делится без остатка на 2, 3 или 4: получаются остатки; делители больше 1 и меньше 17 перебирать дальше достаточно до √17, то есть до 4 с небольшим.
3. Дополнительного делителя у 17 нет, поэтому его делители только 1 и 17.

Ответ: 17 — простое число, 21 — составное.

Задача 3. Разделите числа 1, 2, 9, 13 и 25 на простые и составные, а число 1 укажите отдельно. Сначала выделим единицу: она не подходит ни под одно определение. Для остальных чисел проверим, есть ли делители помимо 1 и самого числа.

1. Число 2 имеет только делители 1 и 2, поэтому оно простое.
2. Число 9 делится на 3, а 25 делится на 5. У обоих есть дополнительные делители, значит, это составные числа.
3. У 13 нет делителей, кроме 1 и 13: достаточно проверить делители до √13, то есть 2 и 3. Поэтому 13 простое.

Ответ: простые — 2 и 13; составные — 9 и 25; число 1 указывается отдельно.

Типичные ошибки

Считать число 1 простым — ошибка, потому что у него не два делителя, а только один. Её допускают, вспоминая, что простые числа делятся на 1, но забывая про требование «ровно два». Для проверки перечислите все делители: у 1 это только 1.

Называть число 1 составным тоже неверно: составное число должно иметь более двух делителей, а у единицы только один. Иногда слово «составное» ошибочно понимают как «не простое». Проверьте определение целиком: число 1 не больше 1 и не имеет требуемого количества делителей, поэтому его выделяют отдельно.

Нечётность не означает, что число простое. Например, 9 нечётное, но делится на 3 без остатка и потому имеет дополнительный делитель. Чтобы проверить себя, не ограничивайтесь проверкой на делимость на 2: поищите и другие делители.

Нельзя путать делитель и кратное. Если 28 делится на 4, то делителем является 4, а кратным — 28; ошибку часто вызывает перестановка чисел в выражении. Спросите себя, какое число делит, а какое делится: это сразу подскажет правильные названия.

Связь с другими темами

Для проверки делимости нужны знания о натуральных числах и делении с остатком: без них нельзя определить, остался ли остаток. Если остатка нет, можно назвать делитель и кратное. Простые и составные числа понадобятся дальше, когда числа будут раскладывать на простые множители. Эти же понятия помогают находить общие делители и общие кратные нескольких чисел.

Что запомнить

• Делитель делит число без остатка.
• Если a делит b без остатка, то a — делитель b, а b — кратное a.
• Простое число больше 1 и имеет ровно два делителя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.