§4. Простые числа и делимость.

Определения и обозначения

Делитель числа — натуральное число, на которое другое натуральное число делится без остатка. Например, 6 — делитель 24, потому что 24 : 6 = 4. Это понятие помогает находить числа, на которые можно разделить данное число поровну.

Кратное числа — результат умножения этого числа на другое натуральное число. Например, 24 = 6 · 4, поэтому 24 кратно 6. Значит, если 6 является делителем 24, то 24 является кратным 6.

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у числа 7 делители 1 и 7, поэтому оно простое. Такое определение позволяет отличить простые числа от всех остальных.

Составное число имеет больше двух натуральных делителей. Его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, отличных от 1 и самого числа, например 12 = 3 · 4. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным, потому что у него только один делитель.

Как это устроено

Чтобы проверить делимость, нужно выполнить деление и посмотреть на остаток. Если остаток равен нулю, деление выполнено без остатка, и делитель подходит. Например, 35 : 5 = 7, значит, 35 делится на 5, а 5 является его делителем.

У простого числа нет других делителей, кроме 1 и самого числа, потому что любой делитель должен делить число без остатка. Если находится ещё один делитель, число уже имеет как минимум три делителя и простым быть не может. У числа 1 такой признак не выполняется: его единственный делитель — 1.

Составное число можно записать в виде произведения двух натуральных чисел, не равных 1 и самому числу. Например, 20 = 4 · 5, а числа 4 и 5 являются его делителями. Такая запись показывает, что у 20 есть дополнительные делители, поэтому оно составное.

Делители удобно находить парами: если a · b = n, то и a, и b — делители числа n. Для числа 18 получаются пары 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6, поэтому все его делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Подсчёт найденных делителей помогает определить вид числа.

Чтобы проверить, простое ли число, ищут его делители, кроме 1 и самого числа. Если дополнительный делитель найден, число составное, а если ни одного не найдено, число простое. Например, у 13 нельзя найти такой делитель, поэтому 13 — простое число.

Делители и виды натуральных чисел

Сначала найдите в таблице все делители числа, затем посчитайте их. Ровно два делителя означают, что число простое, а больше двух — что оно составное. Отдельно запомните особый случай числа 1.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Проверьте, делится ли 24 на 6 без остатка, и назовите частное. Нужно установить, является ли 6 делителем 24. Для этого можно выполнить деление или представить 24 произведением.

1. Запишем число 24 как произведение: 24 = 6 · 4.
2. Это произведение показывает, что при делении 24 на 6 получится натуральное число 4.
3. Проверим равенство: 6 · 4 = 24, значит, остатка нет.

Ответ: 24 делится на 6 без остатка, частное равно 4. Число 6 является делителем 24. Число 24 является кратным 6.

Задача 2

Условие. Выпишите все натуральные делители числа 18 и определите, простое оно или составное. Удобно искать делители парами, произведение которых равно 18. Так мы не пропустим числа и не запишем лишние.

1. Начинаем с пары 1 · 18, поэтому 1 и 18 — делители.
2. Далее получаем 2 · 9 и 3 · 6, значит, добавляем 2, 9, 3 и 6.
3. Записываем делители по порядку: 1, 2, 3, 6, 9, 18; их больше двух.

Ответ: делители числа 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Число 18 составное, потому что у него шесть натуральных делителей. Например, 18 = 3 · 6.

Задача 3

Условие. Определите, какие из чисел 29, 35 и 1 простые, а какие составные. Для каждого числа нужно проверить дополнительные делители. Число 1 рассмотрим отдельно по определению.

1. У 29 проверяем делители, кроме 1 и 29, и не находим подходящего числа, поэтому 29 простое.
2. Для 35 находим 5: 35 = 5 · 7, значит, у него есть дополнительные делители и оно составное.
3. У числа 1 только один делитель — 1, поэтому оно не простое и не составное.

Ответ: 29 — простое число, 35 — составное число, а 1 не относится ни к простым, ни к составным. Решение основано на количестве и виде делителей. Для составности 35 достаточно было найти один дополнительный делитель 5.

Типичные ошибки

Иногда число 1 считают простым, потому что оно делится на 1. Ошибка возникает из-за забывчивости: у простого числа должно быть ровно два делителя, а у 1 только один. Проверяйте не только делимость, но и количество делителей.

Нельзя называть число простым, проверив только деление на 1. У любого натурального числа 1 является делителем, поэтому нужно искать делители, отличные от 1 и самого числа. Если такой делитель найден, число составное.

Делитель и кратное имеют разные роли. В равенстве 18 = 6 · 3 число 6 — делитель 18, а 18 — кратное 6. Чтобы проверить себя, задайте вопрос: какое число делит другое без остатка?

При поиске делителей можно пропустить пару или повторить уже найденное число. Проверяйте пары произведением: каждый раз множители должны давать исходное число. Затем расположите найденные делители по порядку и пересчитайте их.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь делить натуральные числа без остатка и находить частное. Без этого трудно проверить, является ли одно число делителем другого. Результат деления сразу показывает наличие или отсутствие остатка.

Тема опирается на понятие натурального числа и на разложение числа на множители. Когда число представляют произведением, множители помогают находить его делители. Поэтому полезно уверенно выполнять умножение и деление.

Делители и простые числа понадобятся при разложении чисел на простые множители, сокращении дробей и поиске общих делителей. Эти действия помогают упрощать вычисления. Знание свойств простых чисел делает такие решения понятнее.

Что запомнить

• Делитель делит число без остатка.
• Кратное получается умножением числа на натуральное число.
• У простого числа ровно два натуральных делителя: 1 и само число.
• У составного числа больше двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Чтобы доказать, что число составное, достаточно найти его делитель, отличный от 1 и самого числа.