"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Разложение на простые множители — это запись числа в виде произведения простых чисел. Оно помогает увидеть, из каких простых «частей» состоит число, и пригодится при поиске общего делителя и общего кратного, а также при работе с дробями. Чтобы выполнить разложение, последовательно делят составное число на простые делители, пока не останутся только простые множители, а затем проверяют результат умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простое число — натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, у числа 5 делители только 1 и 5. Это определение помогает отличать числа, которые уже нельзя разложить на меньшие натуральные множители, кроме единицы.
Составное число — натуральное число больше 1, у которого более двух натуральных делителей. Например, у числа 6 есть делители 1, 2, 3 и 6. Такие числа можно представить произведением меньших натуральных чисел, поэтому именно их раскладывают дальше.
Разложение числа на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 · 2 · 3. Такая запись показывает, из каких простых множителей складывается число, и помогает сравнивать состав чисел и выполнять дальнейшие вычисления.
Простые множители числа — простые числа, произведение которых равно этому числу. В записи 12 = 2 · 2 · 3 числа 2, 2 и 3 — простые множители числа 12. Повторение множителя допустимо: если число делится на одну и ту же простую величину несколько раз, она записывается столько же раз.
Чтобы определить, простое число или составное, проверяют, делится ли оно на натуральные числа, кроме 1 и самого числа. Если такой делитель нашёлся, число составное: оно имеет как минимум ещё один делитель, а значит — больше двух делителей. Если других делителей нет, число простое. Проверять удобно делением на небольшие числа и с помощью известных признаков делимости.
Составное число можно представить произведением двух множителей, меньших его самого. Если один из множителей тоже составной, его можно разложить дальше, потому что он также представляется произведением меньших чисел. Повторяя этот шаг, мы постепенно получаем всё более простые множители. Процесс заканчивается, когда дальше раскладывать нечего: все оставшиеся числа простые.
При последовательном делении составное число делят на простой делитель без остатка, а полученное частное рассматривают как новое число. Если частное составное, его снова делят на простой делитель; если простое — оно тоже входит в разложение. Так шаг за шагом получают множители исходного числа, а деление продолжают, пока частное не станет равно 1. Каждый делитель записывают, но единицу в разложение не включают.
Начать разложение можно с разных простых делителей, поэтому множители иногда записаны в разном порядке. Например, сначала можно получить 2, потом 3, а можно записать сначала 3, затем 2. Порядок множителей не меняет произведение, потому что от перестановки множителей значение произведения не меняется. При этом набор простых множителей, включая повторы, у числа остаётся тем же.
Чтобы проверить готовую запись, перемножают все её простые множители. Произведение должно точно совпасть с числом, которое раскладывали. Если получился другой результат, значит, где-то была ошибка в делении или вычислении. Дополнительно полезно убедиться, что каждый записанный множитель действительно прост: иначе разложение ещё не закончено.
| Число | Разложение на простые множители | Проверка |
|---|---|---|
| 12 | 2 · 2 · 3 | 2 · 2 · 3 = 12 |
| 30 | 2 · 3 · 5 | 2 · 3 · 5 = 30 |
| 84 | 2 · 2 · 3 · 7 | 2 · 2 · 3 · 7 = 84 |
Сначала прочитайте разложение и убедитесь, что каждый множитель — простое число. Затем выполните проверку: перемножьте множители в любой удобной последовательности. Если получилось число из первого столбца, запись верна.
Задача 1. Разложить число 18 на простые множители. Начнём с простого делителя 2, потому что 18 — чётное число. Полученное частное 9 тоже составное, поэтому его нужно разложить дальше. В конце проверим произведение.
Ответ: 18 = 2 · 3 · 3. Все множители простые, а проверка вернула исходное число, значит, разложение выполнено правильно.
Задача 2. Разложить число 60 двумя способами: последовательным делением и разбиением на множители. Сравним способы: при делении получаем простые множители по очереди, а при разбиении сначала представляем 60 произведением удобных чисел. Если оба пути верны, итоговые простые множители совпадут, хотя порядок записи может отличаться.
Ответ: обоими способами получаются множители 2, 2, 3 и 5. Их порядок различается, но произведение и состав множителей одинаковы.
Задача 3. Разложить число 180 на простые множители и проверить, является ли 7 его простым делителем. Сначала найдём полное разложение, а затем посмотрим, присутствует ли в нём множитель 7. Если простое число делит исходное число, оно должно быть среди простых множителей его разложения.
Ответ: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5; число 7 не является делителем 180.
Иногда число 1 называют простым, потому что оно делится на себя. Но у простого числа должно быть ровно два натуральных делителя, а у 1 только один. Чтобы не ошибиться, при проверке всегда перечисляйте делители и считайте их. Поэтому 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Можно остановиться, когда в произведении остался составной множитель, например 9. Это ошибка: составное число ещё можно разложить, поэтому запись не показывает все простые части исходного числа. Проверяйте каждый множитель отдельно. Если у него есть делители, кроме 1 и самого числа, продолжайте разложение.
В разложение иногда записывают множитель 1, потому что он появляется в конце последовательного деления. Но 1 не является простым числом и не нужен в произведении: умножение на него не меняет результат. Записывайте делители, на которые делили, а не последнее частное. Частное 1 показывает только то, что деление закончено.
Ещё одна ошибка — не проверить вычисления умножением или перепутать частное при делении. Тогда в записи может оказаться неверный множитель, хотя шаги выглядят правдоподобно. Перемножьте всё, что записали, и сравните ответ с исходным числом. Если произведение не совпало, повторите деление и проверьте каждый шаг.
Для разложения нужны таблица умножения, признаки делимости, а также понимание, что называют делителем и кратным. Эти знания позволяют быстро находить числа, на которые делится исходное число без остатка. Простые множители помогают находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Позже разложение пригодится при сокращении дробей и приведении дробей к общему знаменателю.
Почему число 1 не считается простым?
Простое число должно иметь ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. У числа 1 только один натуральный делитель — оно само, поэтому простым его не называют.
Как понять, что разложение уже закончено?
Разложение закончено, когда все множители — простые числа. Если среди них осталось составное число, его нужно разложить дальше.
Обязательно ли делить число на наименьший простой делитель?
Нет, можно выбрать любой простой делитель, на который число делится без остатка. При этом важно продолжать разложение до простых множителей и проверить их произведение.
Может ли у одного числа быть несколько разных разложений?
Порядок множителей может быть разным: например, 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3. Но набор простых множителей с учётом повторений у числа один и тот же.
Как проверить, что разложение на простые множители выполнено правильно?
Перемножьте все записанные простые множители. Если произведение равно исходному числу, разложение верно; если нет, проверьте деление и вычисления.
1. Разложение чисел на простые множители
