"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Разложение на простые множители — это запись числа в виде произведения простых чисел. Например, число 12 можно представить как 2 · 2 · 3. Такая запись показывает, из каких простых «кирпичиков» составлено число, и помогает находить общие делители и кратные, сокращать дроби и сравнивать числа. При разложении составные множители раскрывают дальше, пока каждый множитель не станет простым. Единицу не включают, а правильность результата проверяют умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простое число — натуральное число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя. Например, 7 делится без остатка только на 1 и 7. Это определение помогает отличить простые числа от чисел, которые можно разделить на меньшие части.
Составное число — натуральное число, имеющее более двух делителей. Например, у числа 8 есть делители 1, 2, 4 и 8. Понятие нужно, чтобы понять, какое число можно продолжать раскладывать на множители.
Разложение числа на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 · 2 · 3. Такая запись показывает, из каких простых чисел составлено исходное число.
Множитель — число, на которое умножают другой множитель, чтобы получить произведение. В разложении каждый множитель должен быть простым числом, а не просто числом, на которое исходное делится. Поэтому, например, 12 = 3 · 4 — это представление на множители, но ещё не разложение на простые множители.
Число можно представить произведением по-разному: например, 12 = 3 · 4 или 2 · 6. Но эти записи ещё не всегда показывают состав числа до конца, ведь 4 и 6 сами можно разложить. Цель — получить только простые множители, которые уже нельзя представить произведением меньших натуральных чисел, кроме разложения с единицей.
Если натуральное число составное, у него есть делитель, отличный от 1 и самого числа. Значит, число можно записать как произведение двух меньших натуральных чисел: например, 18 = 2 · 9. Если один из множителей составной, его тоже можно представить произведением; повторяя этот шаг, мы уменьшаем числа и в конце приходим к простым.
Удобно раскладывать число последовательным делением. Выбери простой делитель, раздели на него число и запиши делитель отдельно, а частное продолжай делить на простые числа. Например, при делении на 2 число 84 даёт частное 42, затем 21. Остановиться можно, когда оставшееся частное тоже простое: все записанные делители и это частное тогда образуют разложение.
Число 1 не включают в разложение, потому что оно не является простым: у него только один делитель. Кроме того, умножение на 1 не меняет число, поэтому единица не добавляет нового множителя. Например, запись 12 = 1 · 2 · 2 · 3 верна как равенство, но не является разложением на простые множители по определению.
Порядок множителей не влияет на произведение: 2 · 3 · 5 = 5 · 2 · 3. Поэтому разложения, в которых одни и те же простые числа стоят в разном порядке, считают одинаковыми. У любого натурального числа больше 1 разложение на простые множители единственно с точностью до перестановки: набор простых множителей нельзя заменить другим набором.
| Понятие или правило | Что нужно знать | Пример |
|---|---|---|
| Простое число | Имеет ровно два делителя: 1 и себя. | 7 — простое. |
| Составное число | Имеет больше двух делителей; его можно разложить дальше. | 8 = 2 · 4. |
| Число 1 | Не является ни простым, ни составным. | У 1 один делитель. |
| Разложение на простые множители | Все множители в произведении простые. | 12 = 2 · 2 · 3. |
| Остановка последовательного деления | Остановись, когда все множители простые. | 21 = 3 · 7. |
| Единственность разложения | Набор множителей один и тот же, порядок может меняться. | 2 · 3 · 5 = 5 · 2 · 3. |
Сначала найди, можно ли разложить число на множители, а затем проверь, просты ли они. Если встретилось составное число, его нужно раскрыть дальше. Последнюю строку таблицы удобно помнить при сравнении двух записей: перестановка множителей не создаёт нового разложения.
Попробуем делить на небольшие простые числа. Число 84 чётное, значит, оно делится на 2; полученное частное 42 тоже чётное. Продолжим деление на 2, а затем проверим, простое ли оставшееся частное.
Теперь все множители простые: 2, 2, 3 и 7. Умножим их для проверки: 2 · 2 · 3 · 7 = 84. Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
Деление на 2 удобно, пока частное остаётся чётным. После этого проверим делимость на 3, а затем продолжим делить на 5. Степенью записывают несколько одинаковых множителей: например, 2 · 2 = 2².
Собираем множители: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Три двойки заменяем на 2³, а две тройки — на 3². Ответ: 360 = 2³ · 3² · 5; проверка: 8 · 9 · 5 = 360.
Сначала используем признаки делимости: число оканчивается на 0, значит, делится на 2 и на 5. Сумма его цифр равна 6, поэтому оно делится и на 3. После каждого деления проверим частное и продолжим, пока не останутся только простые множители.
Получились простые множители 2, 3, 5, 7 и 11. Проверка умножением: 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 6 · 5 · 7 · 11 = 30 · 77 = 2310. Ответ: простые делители числа 2310 — 2, 3, 5, 7 и 11; разложение равно 2 · 3 · 5 · 7 · 11.
Иногда останавливаются на составном множителе, потому что не проверили его делители. Например, в записи 12 = 3 · 4 число 4 ещё можно разложить на 2 · 2. Проверяй каждый множитель: если он делится на число, отличное от 1 и себя, продолжай разложение.
В разложение иногда добавляют 1, считая, что она тоже простая. Так происходит из-за того, что единица делит любое число, но у неё не два делителя, а один. Проверяй определение простого числа и не записывай единицу среди множителей.
При последовательном делении можно пропустить множитель или ошибиться в частном. Тогда даже внешне подходящие простые числа дадут при умножении не исходное число. Перемножь все множители; если ответ не совпал, проверь деления и перепиши цепочку вычислений.
Записи 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 иногда считают разными разложениями. Причина — множители стоят не в том же порядке, но от перестановки произведение не меняется. Сравни, какие простые числа входят в запись и сколько раз встречается каждое: если набор совпадает, разложения одинаковы.
Для разложения пригодятся признаки делимости, деление с остатком, понятия делителя и множителя, а также свойства умножения. Эти знания помогают выбирать делители и проверять вычисления. Позже разложение на простые множители используют, чтобы находить НОД и НОК. Оно также помогает сокращать дроби, сравнивать делимость чисел и работать со степенями.
Почему число 1 не считается простым?
У простого числа должно быть ровно два делителя: 1 и само число. У числа 1 только один делитель — оно само. Поэтому единица не является простым числом.
Как понять, что разложение уже закончено?
Нужно проверить каждый множитель: у него должны быть только два делителя — 1 и само число. Если хотя бы один множитель составной, его можно разложить дальше. Когда все множители простые, разложение закончено.
Можно ли начинать разложение сразу с любого простого делителя?
Да, можно взять любой простой делитель исходного числа. Удобно начинать с маленьких чисел, например 2, 3 или 5, проверяя признаки делимости. При правильном делении получится то же разложение, хотя порядок множителей может отличаться.
Нужно ли записывать одинаковые множители по порядку?
Нет, порядок множителей не влияет на произведение. Например, 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 — одно и то же число. Одинаковые множители часто записывают рядом, чтобы удобнее было использовать степени.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Перемножьте все записанные простые множители. Если получилось исходное число, вычисления сошлись. Затем убедитесь, что каждый множитель действительно прост.
1. Разложение чисел на простые множители
