"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Делители помогают увидеть, какие числа делят данное число без остатка, а общий делитель подходит сразу нескольким числам. Самый большой из таких делителей называют наибольшим общим делителем, или НОД. Он нужен, например, чтобы понять, на какое число можно сократить дробь. Если у чисел общий делитель только один — число 1, их называют взаимно простыми. Чтобы разобраться в теме, научись выписывать делители и проверять, какие из них совпадают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель натурального числа — число, на которое данное число делится без остатка. Например, 12 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, поэтому это его делители. Число 5 делителем 12 не является: при делении получится остаток. Список делителей показывает, на какие равные группы можно разделить предметы.
Общий делитель нескольких чисел — число, которое является делителем каждого из них. Например, делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12, а делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Совпадают числа 1, 2, 3 и 6, поэтому они являются общими делителями 12 и 18. Общие делители нужны, чтобы сравнивать числа и находить их НОД.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел — самый большой из их общих делителей. У чисел 12 и 18 общие делители 1, 2, 3 и 6, а самый большой из них — 6. Это записывают так: НОД(12, 18) = 6. Обозначение коротко сообщает, какой общий делитель выбран.
Взаимно простые числа — натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Например, у чисел 8 и 15 нет общего делителя, кроме 1, поэтому НОД(8, 15) = 1 и числа взаимно простые. Это понятие помогает выяснить, есть ли у чисел общий множитель, больший единицы. При этом сами числа не обязательно должны быть простыми.
Чтобы найти общие делители двух чисел, выпиши делители каждого числа в отдельный список. Такой способ удобен, потому что в списке видны все возможные делители и ничего не приходится угадывать. Например, у 12 список такой: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а у 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Совпадающие числа 1, 2, 3 и 6 делят оба числа без остатка.
Среди общих делителей можно выбрать наибольший, потому что их конечное число: делитель натурального числа не может быть больше самого числа. Поэтому после выписывания списков достаточно сравнить совпавшие числа. В примере с 12 и 18 совпадений несколько, и наибольшее из них — 6. Именно его, а не любой другой общий делитель, называют НОД.
Проверка НОД состоит из двух частей. Сначала проверь деление каждого исходного числа на найденное: если остатка нет, найденный делитель действительно общий. Затем убедись, что большего общего делителя нет; при способе со списками это видно по всем совпавшим числам. Если пропустить вторую проверку, можно назвать НОД число, которое является общим делителем, но не самым большим.
Числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их единственный общий делитель — 1. Дело в том, что 1 делит любое натуральное число, поэтому она всегда входит в список общих делителей. Если других совпадений нет, то наибольший общий делитель тоже равен 1. Так проверка взаимной простоты сводится к поиску НОД.
Взаимно простыми могут быть и составные числа: решает не то, простое ли каждое число, а есть ли у них общий делитель больше 1. Например, 8 делится на 1, 2, 4 и 8, а 15 — на 1, 3, 5 и 15. В списках совпадает только 1, значит, 8 и 15 взаимно просты. Их нельзя назвать простыми, но их НОД равен 1.
| Понятие | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Делители числа | Числа, на которые данное число делится без остатка | Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| Общие делители двух чисел | Числа, которые делят каждое из двух чисел | Для 12 и 18: 1, 2, 3, 6 |
| Наибольший общий делитель | Самый большой из общих делителей | НОД(12, 18) = 6 |
| Взаимно простые числа | Числа, НОД которых равен 1 | 8 и 15 взаимно просты |
Пользуйся таблицей как короткой последовательностью действий: сначала найди делители каждого числа, затем общие и среди них наибольший. Если общим делителем остаётся только 1, числа взаимно простые. Примеры в таблице показывают, как перейти от одного понятия к другому.
Чтобы не пропустить делитель, будем искать пары натуральных чисел, произведение которых равно 18. Каждая такая пара даёт сразу два делителя. После этого отдельно проверим деление на 5.
Ответ: делители числа 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; на 5 число 18 без остатка не делится.
Сначала составим два списка, потому что общий делитель должен подходить сразу обоим числам. Затем отметим совпадения и сравним их. Так мы не перепутаем общий делитель с делителем только одного числа.
Ответ: НОД(24, 36) = 12.
Нужно выяснить, есть ли у чисел общий делитель, отличный от 1. Выпишем делители обоих чисел, чтобы проверить все варианты, а не только делимость одного числа на другое. Если совпадает лишь 1, числа взаимно простые.
Ответ: числа 28 и 45 взаимно простые.
Ошибка: назвать число общим делителем, проверив его только на одном числе. Так бывает, когда находят делители каждого числа по отдельности, но забывают сопоставить списки. Например, 4 делит 12, но не делит 18 без остатка. Проверь деление на каждое из данных чисел, прежде чем считать делитель общим.
Ошибка: выбрать наименьший общий делитель вместо наибольшего. Это случается, если остановиться на первом совпадении в списках: число 1 часто встречается сразу. Для НОД нужно сравнить все общие делители и выбрать самый большой. Перечитай определение и проверь, нет ли в списке совпадения больше выбранного числа.
Ошибка: считать, что взаимно простыми бывают только простые числа. Так думают, потому что слово «простые» встречается в названии, но оно говорит не о каждом числе по отдельности. Сравни делители: у 8 и 15 общий только 1, хотя оба числа составные. Ориентируйся на равенство НОД единице.
Ошибка: объявить числа взаимно простыми лишь потому, что ни одно не делится на другое. Это не исключает общего делителя, например, у 8 и 12 числа не делятся друг на друга, но оба делятся на 4. Проверь общие делители или найди НОД. Взаимная простота подтверждается только тогда, когда общий делитель один — 1.
До начала работы с НОД нужно уметь находить делители натурального числа и проверять деление без остатка. Без этого нельзя составить списки и понять, какие числа совпадают. Начинай с простых пар множителей: их произведение должно равняться данному числу.
НОД пригодится при сокращении дробей: числитель и знаменатель можно разделить на их общий делитель. Если разделить на наибольший общий делитель, получится дробь, которую дальше уже нельзя сократить целыми числами. Так понятие НОД помогает выполнять действия с дробями аккуратно.
Взаимная простота помогает определить, можно ли дальше сократить дробь. Если числитель и знаменатель взаимно просты, их общий делитель равен только 1, значит, сократить дробь общим натуральным числом больше единицы нельзя. Поэтому проверка НОД показывает, достигнута ли несократимая дробь.
Как быстро найти все делители числа?
Перебирай натуральные числа от 1 вверх и проверяй, делится ли на них данное число без остатка. Удобно искать пары множителей: например, у 18 это 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6. Когда пары начинают повторяться, список найден.
Как отличить общий делитель от делителя только одного числа?
Проверь деление каждого из рассматриваемых чисел на него. Если хотя бы одно число делится с остатком, это не общий делитель. Общий делитель обязан подходить всем числам.
Может ли НОД двух чисел быть равен одному из них?
Да, если одно число делится на другое. Например, делители числа 12 включают 1, 2, 3, 4, 6 и 12, а делители числа 24 включают все эти числа, поэтому НОД(12, 24) = 12.
Обязательно ли взаимно простые числа должны быть простыми?
Нет. Взаимно простыми называют числа, у которых НОД равен 1, независимо от того, простые они или составные. Например, 8 и 15 составные, но их единственный общий делитель — 1.
Как проверить, что найденный НОД верен?
Убедись, что найденное число делит каждое из данных чисел без остатка. Затем проверь, что среди общих делителей нет числа больше него. Если выписать все делители и выбрать наибольший общий, обе проверки выполнены.
2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
