2. Признаки делимости на 3 и на 9

Определения и обозначения

Натуральное число делится на другое нацело, если при делении получается натуральное число без остатка. Например, 24 делится на 6, потому что 24 : 6 = 4. Это понятие нужно, чтобы точно определить, подходит ли число под признак делимости.

Сумма цифр числа — это результат сложения всех цифр, из которых оно записано. Например, сумма цифр числа 538 равна 5 + 3 + 8 = 16. По этой сумме удобно проверять делимость больших чисел, не выполняя деление самого числа.

Признак делимости на 3 утверждает: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Слова «тогда и только тогда» означают, что правило работает в обе стороны. Например, 246 делится на 3, потому что 2 + 4 + 6 = 12, а 12 делится на 3.

Признак делимости на 9 похож на предыдущий: натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 729 делится на 9, поскольку 7 + 2 + 9 = 18, а 18 делится на 9. Эти определения позволяют заменить проверку большого числа проверкой небольшой суммы.

Как это устроено

Проверить делимость числа напрямую иногда трудно. Например, для числа 58 347 пришлось бы выполнять деление с остатком, а сумма его цифр находится сразу: 5 + 8 + 3 + 4 + 7 = 27. Затем достаточно проверить, делится ли 27 на 3 или на 9. Так более сложное действие заменяется простой проверкой.

Причина правила видна из разрядной записи. Число 538 можно представить так: 5 · 100 + 3 · 10 + 8. При делении на 3 и на 9 числа 10 и 100 дают остаток 1, поэтому 538 и 5 + 3 + 8 имеют одинаковый остаток. Точно так же ведут себя 1000, 10 000 и другие степени десяти.

В общем случае число можно записать как сумму цифр, умноженных на соответствующие разрядные единицы: единицы, десятки, сотни и так далее. При проверке деления на 3 или на 9 каждая такая разрядная единица заменяется остатком 1. Поэтому всё число имеет тот же остаток, что и сумма его цифр, а значит, либо оба делятся без остатка, либо оба не делятся.

Отсюда следуют оба признака. Если сумма цифр делится на 3, исходное число тоже делится на 3; если сумма не делится на 3, число не делится на 3. То же рассуждение работает для 9. Для составного числа нужно сложить все цифры, а затем проверить сумму делением на нужное число.

Сумму цифр не обязательно уменьшать до одной цифры. Например, у числа 98 766 сумма цифр равна 36, и можно сразу заметить, что 36 делится на 3 и не делится на 9? На самом деле 36 делится на 9, поэтому исходное число делится и на 3, и на 9. Достаточно проверить полученную сумму, какой бы большой она ни была.

Признаки делимости на 3 и на 9

В таблице сначала найдите условие для суммы цифр, затем посмотрите, какой вывод оно даёт об исходном числе. Примеры помогают проверить, правильно ли применено правило. Для каждого числа складывайте все цифры, а не только первые или последние.

Разбор задач

Задача 1. Определите, делится ли 246 на 3 и на 9. Сначала заменим проверку большого числа проверкой суммы его цифр, а затем отдельно применим оба признака.

1. Найдём сумму цифр: 2 + 4 + 6 = 12.
2. Проверим сумму на делимость: 12 делится на 3, но не делится на 9.
3. По признакам делимости заключим, что 246 делится на 3, но не делится на 9.

Ответ: 246 делится на 3 и не делится на 9.

Задача 2. Определите, какие из чисел 135, 142 и 207 делятся на 3, а какие — на 9. Для каждого числа отдельно вычислим сумму цифр, чтобы не делить сами числа.

1. Для 135 получаем 1 + 3 + 5 = 9. Число делится и на 3, и на 9.
2. Для 142 получаем 1 + 4 + 2 = 7. Число не делится ни на 3, ни на 9.
3. Для 207 получаем 2 + 0 + 7 = 9. Число делится и на 3, и на 9.

Ответ: 135 и 207 делятся на 3 и на 9; 142 не делится ни на 3, ни на 9.

Задача 3. Найдите все цифры x, при которых число 5x2 делится на 9, а затем укажите, при каких из найденных цифр оно делится на 3. Цифра x может быть любой цифрой от 0 до 9.

1. Сумма цифр числа 5x2 равна 5 + x + 2 = x + 7.
2. Для делимости на 9 сумма должна быть одним из чисел 9 или 18, потому что x + 7 принимает значения от 7 до 16. Поэтому x + 7 = 9, откуда x = 2.
3. При x = 2 число равно 522, и его сумма цифр равна 9. Значит, оно делится на 9, а значит, и на 3.

Ответ: x = 2; при этой цифре число делится и на 9, и на 3.

Типичные ошибки

Некоторые проверяют только последнюю цифру числа. Такой приём подходит для отдельных других признаков делимости, но для 3 и 9 нужно сложить все цифры. Проверьте себя: если в вычислении не встретилась сумма всех цифр, правило применено неверно.

Другая ошибка — считать, что делимость суммы на 3 означает делимость исходного числа на 9. Для девятки сумма должна делиться именно на 9, а не только на 3. Сравните с примером 12: сумма цифр равна 3, поэтому число делится на 3, но не на 9.

Иногда после получения суммы больше 9 сразу делают вывод, что число не делится на 9. Это неверно: суммы 18, 27 и 36 делятся на 9. Проверьте саму сумму делением или вспомните подходящее кратное 9.

Ещё одна ошибка — использовать признак только в одну сторону. Если число делится на 3 или 9, его сумма цифр тоже обязана делиться на соответствующее число. Поэтому всегда проверяйте обе части утверждения: число и сумму его цифр.

Связь с другими темами

До изучения признаков делимости нужно уметь читать разрядный состав натурального числа, находить сумму цифр и понимать деление с остатком. Разрядная запись объясняет, почему в доказательстве появляются числа 10, 100 и 1000. Навык работы с остатками помогает понять, почему число и сумма его цифр дают одинаковый результат проверки.

Признаки делимости нужны не только для быстрых устных вычислений. Они помогают раскладывать числа на простые множители, сокращать дроби и проверять результаты вычислений. Например, по сумме цифр можно быстро заметить ошибку в полученном числе.

Что запомнить

• Чтобы проверить делимость числа на 3 или на 9, найди сумму его цифр.
• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.
• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.
• Делимость на 9 влечёт делимость на 3.
• Сумму цифр не обязательно доводить до одной цифры: достаточно проверить её делимость.
• Признаки делимости на 3 и на 9 не зависят от последней цифры числа.