1. Признаки делимости на 10, на 2 и на 5

Определения и обозначения

Делимость числа на другое означает, что число делится нацело: при делении получается натуральное число без остатка. Например, 20 делится на 5, потому что 20 : 5 = 4. Это понятие помогает понять, можно ли разделить предметы или число на равные группы.

Признак делимости — это правило, по которому можно определить делимость числа, не выполняя само деление. Например, для проверки делимости на 5 достаточно посмотреть на последнюю цифру. Такие правила экономят время и уменьшают число вычислений.

Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оканчивается цифрой 0. Так, 70 и 1340 делятся на 10, а 73 — нет. Слова «тогда и только тогда» означают, что это правило работает в обе стороны.

Признаки делимости на 2 и на 5 определяются последней цифрой числа. На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8, а на 5 — числа с последней цифрой 0 или 5. Эти списки позволяют быстро проверить даже очень большое число.

Как это устроено

Запишем число с помощью разрядов: 347 = 300 + 40 + 7. Первые слагаемые содержат десятки, поэтому 300 и 40 делятся на 10. Остаётся последняя цифра 7, и именно она определяет, делится ли всё число на 10.

В общем виде число можно записать как 10a + b, где a — число, составленное из всех разрядов, кроме единиц, а b — последняя цифра. Слагаемое 10a всегда делится на 10, поэтому при делении на 10 оно не создаёт остатка. Остаток зависит только от b, и нулевой остаток получается только при b = 0.

Для делимости на 2 число 10a тоже не мешает: любое число, кратное 10, делится на 2. Поэтому нужно проверить только последнюю цифру b. Если b равна 0, 2, 4, 6 или 8, она делится на 2, значит, и всё число делится на 2.

Для делимости на 5 рассуждение такое же. Число 10a кратно 5, а последняя цифра делится на 5 только в двух случаях: b = 0 или b = 5. Поэтому любое число, оканчивающееся на 0 или 5, делится на 5.

Делимость на 10 связана сразу с двумя другими признаками: если число делится на 10, оно делится и на 2, и на 5. Например, 120 подходит сразу для всех трёх проверок. Но число 18 делится на 2, а на 10 — нет, и число 25 делится на 5, а на 10 — нет; значит, одно условие само по себе недостаточно.

При работе с многозначным числом не нужно изменять его или выполнять деление. Найдите последнюю цифру и сравните её с нужным списком. Например, у числа 6 482 последняя цифра 2, поэтому оно делится на 2, но не делится ни на 5, ни на 10.

Признаки делимости по последней цифре

В таблице найдите число, на которое нужно проверить делимость, и посмотрите, входит ли последняя цифра исходного числа в соответствующий список. Если входит, число делится нацело; если нет, не делится. Одно и то же число может подходить сразу к нескольким строкам.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить, делится ли 340 на 10, на 2 и на 5. Проверим каждое утверждение отдельно, хотя одна последняя цифра может сразу дать несколько положительных ответов.

1. Число 340 оканчивается цифрой 0, поэтому оно делится на 10.
2. Цифра 0 входит в список последних цифр для делимости на 2, значит, 340 делится на 2.
3. Цифра 0 также входит в признак делимости на 5, значит, 340 делится на 5.

Ответ: 340 делится на 10, на 2 и на 5.

Задача 2

Условие: из чисел 125, 208, 350 и 417 выбрать те, которые делятся на 2, на 5 и на 10. Удобно рассмотреть последнюю цифру каждого числа и занести результат в нужные группы.

1. 125 оканчивается на 5: оно делится на 5, но не делится на 2 и на 10.
2. 208 оканчивается на 8: оно делится на 2, но не делится на 5 и на 10.
3. 350 оканчивается на 0: оно делится сразу на 2, на 5 и на 10.
4. 417 оканчивается на 7, которой нет ни в одном подходящем списке, поэтому число не делится ни на 2, ни на 5, ни на 10.

Ответ: на 2 — 208 и 350; на 5 — 125 и 350; на 10 — 350.

Задача 3

Условие: найти все цифры, которыми можно заменить звёздочку в числе 47*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и на 5. Здесь нужно пересечь два списка последних цифр.

1. Для делимости на 2 последняя цифра должна быть одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
2. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5.
3. Общая цифра в этих списках только 0, поэтому подходит число 470.

Ответ: вместо звёздочки можно поставить только цифру 0.

Типичные ошибки

Проверять сумму цифр. Ученик может сложить цифры числа, потому что такой приём встречается в других признаках делимости. Для делимости на 2, 5 и 10 сумма цифр не нужна: проверьте только последнюю цифру.

Считать, что делимость на 2 означает окончание только на 2 или 6. Иногда запоминают лишь два примера и пропускают остальные чётные цифры. Повторите полный список: 0, 2, 4, 6, 8.

Считать, что для делимости на 5 подходит любая нечётная цифра. Нечётность сама по себе недостаточна: например, 17 на 5 не делится. Проверьте, что последняя цифра именно 0 или 5.

Путать направления утверждений. Из делимости на 10 действительно следует делимость на 2 и на 5, но из делимости только на 2 или только на 5 делимость на 10 не следует. Для самопроверки найдите контрпримеры: 18 и 25.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о десятичной записи и разрядном составе числа: единицах, десятках, сотнях. Также нужно понимать деление без остатка, то есть делимость.

Признаки делимости пригодятся дальше при разложении чисел на простые множители и поиске общих делителей. Они помогают быстрее сокращать дроби, потому что позволяют находить подходящие делители без длинного деления.

Что запомнить

• Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
• Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.
• Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
• Для этих признаков достаточно проверить последнюю цифру числа.
• Если число делится на 10, оно делится и на 2, и на 5.
• Делимость на 2 и на 5 по отдельности не означает делимость на 10.