"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Признаки делимости — это правила, по которым можно узнать, делится ли натуральное число на другое без самого деления. Они помогают быстро проверять числа по их записи: например, смотреть на последнюю цифру или складывать все цифры. Важно различать делитель и кратное, уметь применять несколько признаков вместе и находить неизвестную цифру так, чтобы условие делимости выполнялось.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число делится на другое натуральное число без остатка, если при делении остаток равен нулю. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Это свойство помогает понять, можно ли разделить предметы на равные группы без остатка.
Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится нацело. Например, 4 — делитель числа 20, потому что 20 : 4 = 5. Зная делители числа, можно проверять, на какие группы его получится разделить поровну.
Кратное числа — натуральное число, которое получается умножением этого числа на натуральное число. Например, 20 — кратное 4, потому что 4 · 5 = 20. Делитель и кратное связаны: если 20 делится на 4, то 4 является делителем 20, а 20 — кратным 4.
Признак делимости — правило, позволяющее определить, делится ли число на другое без выполнения деления. Например, чтобы проверить делимость на 10, достаточно посмотреть на последнюю цифру. Такие правила экономят время и особенно удобны, когда числа большие.
В десятичной записи число составлено из единиц, десятков, сотен и других разрядов. Десятки, сотни и следующие разряды содержат по целому числу десятков, поэтому для проверки делимости на 2, 5 и 10 достаточно узнать, что осталось в разряде единиц. Отсюда и признаки: число делится на 2, если последняя цифра чётная; на 5 — если она 0 или 5; на 10 — если она 0.
У признаков для 3 и 9 другая причина: каждую разрядную единицу можно представить как число, отличающееся от 1 на число, делящееся на 9. Например, 700 отличается от 7 на 693, а 693 делится и на 3, и на 9. Поэтому при проверке делимости числа на 3 или 9 его можно заменить суммой цифр: например, для 7380 сумма равна 18.
Само деление иногда требует много вычислений, особенно если число большое. Признак делимости заменяет его короткой проверкой цифр, а значит, помогает быстрее получить ответ и не ошибиться в вычислениях. Если проверка показывает, что остатка быть не может, число делится нацело.
Для одного числа можно применять несколько признаков подряд. Например, чтобы проверить делимость на 2 и 3, сначала смотрят, чётная ли последняя цифра, затем складывают все цифры и проверяют сумму. Число подходит только тогда, когда выполняются оба условия.
Признаки помогают и при поиске неизвестной цифры. Нужно сложить известные цифры, а затем подобрать недостающую так, чтобы полученная сумма делилась на нужное число. Если требуется делимость сразу на несколько чисел, проверяют все соответствующие условия.
| Делитель | Условие делимости | Пример числа | Почему подходит |
|---|---|---|---|
| 2 | Последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. | 7380 | Последняя цифра 0 — чётная. |
| 5 | Последняя цифра 0 или 5. | 7380 | Число оканчивается на 0. |
| 10 | Последняя цифра 0. | 7380 | Число оканчивается на 0. |
| 3 | Сумма цифр делится на 3. | 7380 | 7 + 3 + 8 + 0 = 18, а 18 делится на 3. |
| 9 | Сумма цифр делится на 9. | 7380 | Сумма цифр равна 18, а 18 делится на 9. |
Сначала найди в таблице нужный делитель, а затем выполни указанную проверку. Для 2, 5 и 10 достаточно последней цифры, а для 3 и 9 нужно найти сумму всех цифр. Пример показывает, как обосновать ответ, а не только назвать его.
Задача 1. Определить, делится ли число 7380 на 2, 5, 10, 3 и 9. Удобно разделить проверку на две части: сначала посмотреть на последнюю цифру, затем найти сумму цифр. Так мы используем разные признаки, не выполняя деление.
Ответ: 7380 делится на 2, 5, 10, 3 и 9. Каждая проверка опирается на подходящий признак: последнюю цифру или сумму цифр.
Задача 2. Какие из чисел 126, 245, 378, 512 делятся одновременно на 2 и 3? Чтобы число делилось на 2, оно должно быть чётным, а для делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3. Проверим оба условия у каждого числа.
Ответ: 126 и 378. Для каждого из них выполнены оба условия одновременно.
Задача 3. Вставить цифру вместо звёздочки в числе 4*72, чтобы число делилось на 3 и на 9. Для делимости на 9 сумма цифр должна делиться на 9; тогда она автоматически будет делиться и на 3. Поэтому достаточно составить условие для суммы цифр.
Ответ: вместо звёздочки нужно поставить цифру 5. Сумма цифр равна 18, поэтому число делится на 9 и на 3.
Иногда путают делитель и кратное: думают, что 4 — кратное 20, хотя 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4. Путаница возникает потому, что эти слова описывают одну связь с разных сторон. Проверь себя вопросами: «На что делят?» и «Какое число делится?».
Для проверки делимости на 3 или 9 некоторые смотрят только на последнюю цифру. Это правило подходит для 2, 5 и 10, поэтому признаки легко смешать. Чтобы проверить себя, сложи все цифры и сравни сумму с нужным делителем.
Число, оканчивающееся на 5, иногда ошибочно считают делящимся на 10. Здесь перепутаны признаки 5 и 10: на 10 делятся только числа, последняя цифра которых — 0. Проверь окончание числа: цифра 5 подходит для делимости на 5, но не на 10.
Ещё одна ошибка — считать, что делимость на 9 не связана с делимостью на 3. Но любое число, делящееся на 9, делится и на 3, ведь 9 = 3 · 3. Проверь результат: если сумма цифр делится на 9, она должна делиться и на 3.
Для работы с признаками делимости понадобятся деление с остатком, таблица умножения и знание разрядного состава десятичной записи. Эти умения помогают понять, почему правило работает, и проверить результат. Позже признаки пригодятся при сокращении дробей, разложении чисел на простые множители, нахождении НОД и НОК. С их помощью также проверяют вычисления и подбирают цифры в числах.
Почему для делимости на 2 достаточно проверить только последнюю цифру?
Любое число можно представить как сумму единиц и десятков, сотен и других разрядов. Все разряды, кроме единиц, содержат чётное число единиц, поэтому на чётность влияет только последняя цифра.
Чем признак делимости на 3 отличается от признака делимости на 9?
В обоих случаях нужно сложить все цифры числа. Для делимости на 3 сумма должна делиться на 3, а для делимости на 9 — на 9.
Можно ли определить делимость числа сразу на несколько чисел?
Да, нужно проверить число по каждому нужному признаку. Например, чтобы число делилось одновременно на 2 и 3, оно должно быть чётным, а сумма его цифр — делиться на 3.
Как найти неизвестную цифру, чтобы число делилось на 3 или на 9?
Сложи известные цифры и обозначь неизвестную цифру буквой или звёздочкой. Подбери цифру от 0 до 9 так, чтобы общая сумма делилась на 3 или на 9.
Всегда ли число, делящееся на 10, делится также на 2 и на 5?
Да. Число, которое делится на 10, оканчивается на 0, а значит, его последняя цифра подходит и для признака делимости на 2, и для признака делимости на 5.
§3. Признаки делимости натуральных чисел.
