2. Делимость суммы и разности

Определения и обозначения

Целое число делится на другое ненулевое целое число, если частное является целым числом. Например, 24 делится на 6, потому что 24 : 6 = 4, а 25 на 6 не делится: частное не целое. Так определение помогает понять, есть ли при делении остаток.

Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например, 5 — делитель числа 20, поскольку 20 : 5 = 4. Поиск делителей помогает проверять делимость и подбирать числа для решения задач.

Кратное числа получается умножением этого числа на целое число. Например, 18 — кратное 6, потому что 6 · 3 = 18; числа 0, 6, 12 и 24 тоже кратны 6. Понятие кратного удобно, когда нужно показать, что число делится на выбранный делитель.

Если два числа делятся на одно и то же число, то их сумма и разность тоже делятся на него. Например, 12 и 18 делятся на 6, значит, 12 + 18 и 18 − 12 делятся на 6. Это правило позволяет узнавать о делимости результата, не деля его нацело.

Как это устроено

Пусть a делится на m, а b тоже делится на m. Тогда каждое из этих чисел можно записать через общий делитель: a = mk, b = mn, где k и n — целые числа. Складывая записи, получаем a + b = mk + mn = m(k + n). Так как сумма целых чисел k + n остаётся целой, вся сумма является кратной m и делится на него.

Для разности рассуждение похожее: a − b = mk − mn = m(k − n). Разность k − n — целое число, поэтому a − b тоже представляет собой m, умноженное на целое число. Если b больше a, результат будет отрицательным, но это не мешает делимости: например, −12 делится на 6, потому что −12 : 6 = −2.

Из этого получается общий способ доказательства: представь каждое участвующее число как кратное общего делителя. Для суммы нужно сделать так со всеми слагаемыми, а для разности — и с уменьшаемым, и с вычитаемым. Если хотя бы для одного числа делимость не установлена, применять свойство пока нельзя.

Обратное рассуждение неверно. То, что сумма делится на число, не доказывает, что каждое слагаемое делится на него: например, 7 + 5 = 12, а 12 делится на 6, хотя ни 7, ни 5 на 6 не делятся. Значит, свойство можно применять от делимости чисел к делимости результата, но нельзя автоматически поворачивать его в обратную сторону.

Правило помогает упростить проверку делимости, если представить число как сумму или разность удобных чисел. Например, 96 можно разложить как 80 + 16: оба слагаемых делятся на 8, поэтому и 96 делится на 8. Иногда удобнее взять близкие кратные: 198 = 200 − 2, но для применения свойства оба числа должны делиться на один и тот же делитель.

Делимость суммы и разности

В таблице m обозначает общий делитель, на который проверяют числа. Сначала проверь условие в нужной строке: делимость должна быть установлена для каждого слагаемого или обоих чисел разности. Последняя строка напоминает, что из делимости результата нельзя делать обратный вывод.

Разбор задач

Задача 1. Не выполняя деление, объясни, делится ли 48 + 72 на 8. Нужно проверить не готовую сумму, а каждое её слагаемое: если оба делятся на 8, сработает свойство делимости суммы.

1. Представим 48 как 8 · 6. Значит, первое слагаемое делится на 8.
2. Представим 72 как 8 · 9. Второе слагаемое тоже делится на 8.
3. По свойству сумма двух чисел, делящихся на 8, делится на 8.

Ответ: 48 + 72 делится на 8. Делить сумму не пришлось: достаточно было проверить каждое слагаемое.

Задача 2. Докажи, что 135 − 75 делится на 15. Здесь рассматривается разность, поэтому нужно показать, что на 15 делятся и уменьшаемое 135, и вычитаемое 75.

1. Запишем 135 = 15 · 9, поэтому 135 делится на 15.
2. Запишем 75 = 15 · 5, поэтому 75 также делится на 15.
3. Разность двух чисел, делящихся на 15, делится на 15. Для проверки можно вычислить: 135 − 75 = 60, а 60 = 15 · 4.

Ответ: 135 − 75 делится на 15. Оба числа разности оказались кратными 15, поэтому к ним применимо свойство.

Задача 3. Известно, что 36 делится на 6, а число x делится на 6. Может ли 36 + x делиться на 6? Следует ли обратное: если 36 + x делится на 6, то x делится на 6?

1. Для первого утверждения проверяем условие: 36 делится на 6, и x по условию тоже делится на 6.
2. Значит, по свойству их сумма 36 + x обязательно делится на 6. Ответ на первую часть — да.
3. Обратное утверждение неверно. Например, пусть x = 5: тогда 36 + 5 = 41 не подходит, поэтому возьмём x = 6 − 36 = −30. Сумма равна 6 и делится на 6, но x = −30 всё же тоже делится на 6.
4. Чтобы увидеть, почему вывод в общем случае не следует, возьмём сумму 36 + x = 37: она не делится на 6. Нужен пример с делящейся суммой и неделящимся x: x = 1 даёт сумму 37, поэтому он тоже не подходит. Возьмём x = 2: сумма 38. Эти примеры показывают, что для суммы, кратной 6, x должно иметь остаток 0 при 36, кратном 6; значит, x тоже кратно 6.

Ответ: да, 36 + x делится на 6. В этой задаче обратное утверждение тоже верно именно потому, что 36 уже делится на 6: если сумма и 36 делятся на 6, то их разность x также делится на 6. Это не отменяет общего правила: из делимости суммы нельзя заключать делимость каждого слагаемого без дополнительных условий.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что делимость суммы гарантирует делимость каждого слагаемого. Так думают, если путают направление свойства: из делимости слагаемых следует делимость суммы, но не наоборот. Проверь себя на примере 7 + 5 = 12: сумма делится на 6, а слагаемые — нет.

Нельзя применять свойство, если на заданное число делится только одно слагаемое. Возможно, второе число не делится на него, поэтому условие для вывода не выполнено. Перед решением отдельно проверь делимость каждого слагаемого.

При проверке разности иногда учитывают только её результат или только одно из двух чисел. Но свойство требует, чтобы и уменьшаемое, и вычитаемое делились на общий делитель. Запиши оба числа как произведения этого делителя на целые числа — так проще себя проверить.

Отрицательную разность ошибочно считают неделимой. Знак не отменяет делимость: например, −18 : 6 = −3, а −3 — целое число. Если результат меньше нуля, проверь, остаётся ли частное целым: тогда разность делится на заданное число.

Связь с другими темами

Чтобы использовать свойство, нужно уметь находить делители и кратные чисел. Также пригодятся действия с целыми числами: разность может оказаться отрицательной, а отрицательное частное всё равно может быть целым. Эти знания помогают проверить, выполнено ли условие делимости.

Свойство удобно при устной проверке: число можно разложить на сумму или разность частей, делимость которых уже известна. Позже оно поможет обосновывать признаки делимости и решать задачи, где числа представляют через кратные. Главное — для каждого числа в сумме или разности проверить делимость на общий делитель.

Что запомнить

• Если каждое слагаемое делится на число, то их сумма делится на это число.
• Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то их разность делится на это число.
• Свойство работает для суммы любого количества слагаемых.
• Числа, кратные одному числу, можно складывать и вычитать, сохраняя делимость на него.
• Из делимости суммы не следует, что каждое слагаемое делится на то же число.
• Перед применением свойства проверь делимость каждого участвующего числа.