1. Делимость произведения

Определения и обозначения

Число делится на другое число, если при делении получается натуральное число, то есть число без остатка. Например, 24 делится на 6, потому что 24 : 6 = 4. Это определение помогает понять, можно ли разделить число на равные целые части.

Делитель числа — это число, которое входит в него целое число раз. Например, 5 — делитель числа 20, так как 20 : 5 = 4. Чтобы установить делимость, удобно проверить, является ли заданное число делителем.

Кратным числа называют результат умножения этого числа на натуральное число. Например, 18 — кратное числа 6, потому что 6 · 3 = 18. Значит, если число кратно другому числу, оно делится на него без остатка.

Произведение делится на заданное число, если результат умножения делится на него без остатка. Главное свойство такое: если хотя бы один множитель делится на число, то на него делится и всё произведение. Это позволяет делать вывод о делимости, не находя результат умножения.

Как это устроено

Произведение можно представить как несколько одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 — это 4 + 4 + 4, а 3 · 4 — это 3 + 3 + 3 + 3. Такая запись показывает, что умножение повторяет одно и то же число несколько раз.

Предположим, что первый множитель делится на число k. Тогда его можно записать как k · m, где m — натуральное число. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Такая запись не просто подтверждает делимость: она позволяет подставить множитель в произведение.

Пусть второй множитель равен b. Тогда произведение первого множителя и второго можно записать так: (k · m) · b. Переставим скобки: k · (m · b). Получилось число k, умноженное на натуральное число m · b, поэтому исходное произведение делится на k без остатка.

Если на k делится второй множитель, рассуждение такое же. Запишем его как k · n и умножим на первый множитель a: a · (k · n) = k · (a · n). Значит, произведение содержит k как множитель и делится на него. Неважно, стоит подходящий множитель первым или вторым.

Если оба множителя делятся на одно и то же число k, можно применить свойство к любому из них. Например, если первый множитель равен k · m, а второй — k · n, их произведение равно (k · m) · (k · n), то есть k · (m · k · n). В этой записи видно, что произведение делится на k; более того, в нём есть два множителя k.

Достаточно делимости хотя бы одного множителя, но требовать делимости каждого не нужно. И обратный вывод делать нельзя: из того, что произведение делится на k, не следует, что каждый множитель делится на k. Например, 2 · 3 = 6 делится на 6, хотя ни 2, ни 3 отдельно на 6 не делятся. Поэтому всегда проверяй, в какую сторону рассуждаешь.

Делимость произведения

Сначала посмотри на условие и определи, какой множитель делится на k. Затем представь его в виде k · m или k · n и используй соответствующий вывод из последнего столбца. Если делятся оба множителя, достаточно применить любую из первых двух строк.

Разбор задач

Задача 1. Не вычисляя произведение 24 · 7, выяснить, делится ли оно на 6. Сначала проверим не произведение целиком, а его множители. Такой способ особенно удобен, когда произведение получается большим, а один множитель легко проверить. Важно явно назвать, какой множитель подходит.

1. Проверим первый множитель: 24 : 6 = 4. Частное — натуральное число, значит, 24 делится на 6.

2. По свойству делимости произведения, если один множитель делится на 6, то произведение тоже делится на 6. Второй множитель, 7, проверять не требуется.

3. Запишем вывод: произведение 24 · 7 делится на 6. Само произведение находить не пришлось.

Задача 2. Выяснить, делится ли произведение 15 · 28 на 7 и на 5. Здесь нужно ответить на два отдельных вопроса: для каждого делителя найдём подходящий множитель. Один и тот же множитель не обязан подходить в обоих случаях. Проверка каждого делителя отдельно помогает не перепутать основания.

1. Проверим делимость на 7. Число 28 делится на 7, потому что 28 : 7 = 4.

2. Значит, по свойству произведение 15 · 28 делится на 7. Для этого вывода достаточно множителя 28.

3. Теперь проверим делимость на 5. Число 15 делится на 5, потому что 15 : 5 = 3.

4. Следовательно, произведение 15 · 28 делится и на 5. Ответ: произведение делится на 7 и на 5.

Задача 3. Не вычисляя произведение 18 · 25 · 14, определить, делится ли оно на 6 и на 5. В произведении три множителя, но правило остаётся тем же: достаточно найти среди них подходящий. Для делителей 6 и 5 такими множителями окажутся разные числа. Проверим оба случая раздельно.

1. Для делимости на 6 проверим множитель 18. Так как 18 : 6 = 3, число 18 делится на 6.

2. Поэтому всё произведение 18 · 25 · 14 делится на 6. Два оставшихся множителя можно рассматривать вместе: умножение на них не отменяет делитель 6.

3. Для делимости на 5 проверим множитель 25. Получаем 25 : 5 = 5, поэтому 25 делится на 5.

4. Значит, произведение делится на 5 тоже. Ответ: произведение делится и на 6, и на 5, а вычислять его значение не нужно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что на заданное число должны делиться оба множителя. Так думают, потому что проверяют множители по очереди и ждут, что каждый даст нужное частное. Но достаточно одного подходящего множителя; для самопроверки найди его и укажи, например, 24 делится на 6, значит, 24 · 7 делится на 6.

Ошибка: применять свойство к сумме и заключать, что если одно слагаемое делится на число, то сумма тоже делится. Умножение сохраняет делитель через множитель, а сложение может изменить результат: 6 делится на 3, но 6 + 1 не делится на 3. Проверяй, рассматриваешь ты произведение или сумму.

Ошибка: считать, что если произведение делится на число, то каждый множитель также делится на него. Это неверный обратный вывод: например, 2 · 3 делится на 6, а ни 2, ни 3 на 6 не делятся. Проверь утверждение на небольшом примере, прежде чем использовать его.

Ошибка: забывать назвать множитель, на который делится заданное число. Тогда ответ выглядит как догадка, даже если он верен. В решении запиши проверку вроде 28 : 7 = 4, а затем сделай вывод о произведении; так можно проверить и обоснование, и вычисление.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться свойством, нужно понимать деление без остатка: именно оно показывает, делится ли одно число на другое. Понятия делителя и кратного помогают записывать такую связь разными словами: если 24 делится на 6, то 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6. Свойство делимости произведения пригодится при устных вычислениях и доказательствах, когда не нужно находить большое произведение. Оно помогает быстрее проверить, будет ли результат умножения кратен заданному числу.

Что запомнить

• Если один множитель делится на число, то произведение делится на это число.
• Чтобы обосновать делимость произведения, достаточно указать подходящий множитель.
• Если оба множителя делятся на одно число, их произведение тоже делится на него.
• Произведение может делиться на число, даже если ни один множитель на него не делится.
• Делимость произведения не требует вычислять его значение.