"Математика", Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
В этом параграфе мы будем изучать делимость произведений – то есть, как узнать, делится ли результат умножения нескольких чисел на какое-то другое число. Это свойство очень полезно при упрощении вычислений и решении задач, особенно тех, где числа большие. Мы узнаем, что делимость произведения связана с делимостью его множителей и как использовать это знание на практике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель числа – это число, на которое исходное число делится без остатка. Например, 3 является делителем 12, потому что 12 : 3 = 4. Понимание делителей помогает нам упрощать дроби, находить общие множители и решать задачи на делимость.
Произведение – это результат умножения двух или более чисел. Например, произведение чисел 4 и 5 равно 20 (4 * 5 = 20). Произведение играет важную роль в математике, особенно в алгебре и арифметике.
Признак делимости на число – это правило, которое позволяет определить, делится ли число на заданный делитель, не выполняя деление. Например, признак делимости на 2 гласит, что число делится на 2, если его последняя цифра четная. Знание признаков делимости существенно ускоряет решение задач.
Если произведение двух чисел делится на третье число, то хотя бы одно из этих двух чисел делится на третье число. Это происходит потому, что произведение можно рассматривать как сумму одинаковых слагаемых. Если один из множителей делится на третье число, то при умножении мы всегда получим число, которое так же делится на третье число. Например, если число а делится на 3, то и а*b также будет делиться на 3.
Если первое число делится на некоторое число, а второе число делится на другое число, то их произведение делится на произведение этих двух чисел. Это свойство можно объяснить, раскладывая каждое число на множители. Например, если a = c*k и b = d*m, то a*b = c*k*d*m = c*d*(k*m). Следовательно, a*b делится на c*d.
Рассмотрим пример, когда произведение двух чисел делится на некоторое число, но ни одно из этих чисел по отдельности на него не делится: произведение 6*10 = 60 делится на 12, хотя ни 6, ни 10 на 12 не делятся. Это показывает, что делимость произведения не всегда означает делимость отдельных множителей. В данном случае, 60 = 12*5, следовательно, делимость обеспечивается комбинацией множителей.
Объяснение, почему произведение делится на число, если хотя бы один из множителей делится на этот число, основывается на представлении произведения в виде суммы одинаковых слагаемых. Если 'a' делится на 'c', значит, 'a' можно представить в виде c*k, где k – целое число. Тогда, a*b = (c*k)*b = c*(k*b), что означает, что a*b тоже делится на 'c'.
Рассмотрим случай, когда a делится на c, то есть a = c*k. Тогда a*b = c*k*b. Следовательно, a*b делится на c. Это свойство позволяет упрощать вычисления и находить общие делители. Например, если мы знаем, что 24 делится на 6, то 24*7 также будет делиться на 6.
| Свойство | Пример 1 | Пример 2 |
|---|---|---|
| Если a делится на c, то ab делится на c | 18 делится на 3, значит 18 * 5 делится на 3 | 25 делится на 5, значит 25 * 12 делится на 5 |
| Если a делится на c и b делится на d, то ab делится на c*d | 12 делится на 3, 15 делится на 5, значит 12 * 15 делится на 3 * 5 = 15 | 8 делится на 4, 10 делится на 2, значит 8 * 10 делится на 4 * 2 = 8 |
| Если ab делится на c, то это не обязательно означает, что a делится на c или b делится на c | 6 * 10 = 60 делится на 12, но ни 6, ни 10 на 12 не делятся | 4 * 9 = 36 делится на 6, но 4 не делится на 6, и 9 – тоже |
| Если a, b и c делятся на некоторое число d, то их произведение abc делится на d^3 | 6, 9 и 12 делятся на 3, значит 6 * 9 * 12 делится на 3^3 = 27 | 2, 4 и 6 делятся на 2, значит 2 * 4 * 6 делится на 2^3 = 8 |
Эта таблица суммирует основные свойства делимости произведения. Используйте её при решении задач, чтобы правильно применять правила и находить решения.
Задача 1: Докажите, что 15 * 28 делится на 5.
Задача 2: Докажите, что 24 * 35 делится на 12.
Задача 3: Докажите, что 36 * 45 делится на 9. Найдите наименьшее число, на которое делится и 36, и 45.
Неправильное применение признаков делимости: Эта ошибка возникает, когда ученики путают признаки делимости, например, признаки делимости на 2 и на 4. Важно запомнить и правильно применять каждый признак.
Забывают о том, что делимость произведения не гарантирует делимость каждого множителя: Многие ученики думают, что если произведение делится на число, то и каждый множитель должен делиться на это число. Это не всегда так, что мы убедились на примере 6 * 10 = 60, которое делится на 12, хотя ни 6, ни 10 на 12 не делятся.
Не могут разложить числа на простые множители: Разложение на простые множители помогает найти общие делители и доказать делимость произведения. Если не уметь раскладывать числа на множители, это может затруднить решение задач.
Допускают ошибки в арифметических вычислениях: При определении делимости важно не допускать ошибок в вычислениях. Внимательно проверяйте свои расчеты, чтобы получить правильный ответ.
Знание признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10: Признаки делимости – это фундамент для понимания делимости произведения. Чем лучше вы знаете эти признаки, тем легче вам будет решать задачи.
Понятие разложения на простые множители: Разложение на простые множители пригодится при решении более сложных задач на делимость, особенно когда нужно найти наибольший общий делитель или наименьшее общее кратное.
Что значит, что число делится на другое число?
Это значит, что при делении одного числа на другое получается целое число без остатка. Например, число 12 делится на 3, потому что 12 / 3 = 4, и остатка нет. Если же при делении есть остаток, то число не делится на другое число.
Как определить, делится ли произведение двух чисел на определенное число?
Чтобы определить делимость произведения, нужно проверить делимость хотя бы одного из множителей на данное число. Если один из множителей делится, то и произведение тоже делится. Но это не единственный вариант, произведение может делиться и при условии, что ни один из множителей по отдельности не делится.
Может ли произведение двух чисел делиться на число, ни одно из которых само по себе на него не делится?
Да, может. Например, 6 * 10 = 60 делится на 12, хотя ни 6, ни 10 не делятся на 12. Этот пример показывает, что делимость произведения не всегда означает делимость каждого из множителей.
Как использовать признак делимости при решении задач на делимость произведения?
Признаки делимости помогают быстро определить, делится ли число на заданный делитель, без выполнения деления в столбик. Например, если нужно проверить делимость произведения на 5, можно проверить, делится ли хотя бы один из множителей на 5.
Чем отличается делимость от кратности?
Делимость и кратность – это близкие, но разные понятия. Если число a делится на число b, то a – делимое, b – делитель. Если число a кратно числу b, то a – кратное, b – делитель. То есть, кратность показывает, сколько раз одно число содержится в другом.
§ 26. Делимость произведения
