§ 2. Признаки делимости

Определения и обозначения

Делимость числа нацело означает, что число a можно представить в виде равенства a = b · c, где b и c — числа, а остатка при делении нет. Например, 24 = 6 · 4, значит, 24 делится на 6 нацело. Такое равенство помогает увидеть делитель и результат деления.

Признак делимости — это правило, по которому можно определить делимость числа без выполнения самого деления. Например, для делимости на 5 достаточно проверить последнюю цифру. Такие правила экономят время и особенно удобны при работе с большими числами.

Признак делимости на 2, 5 или 10 связан с последней цифрой числа. На 2 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0, 2, 4, 6 или 8; на 5 — цифрой 0 или 5; на 10 — цифрой 0. Благодаря этому не нужно делить число полностью.

Признак делимости на 3 и 9 использует сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3, а если сумма делится на 9, то число делится на 9. Этот способ позволяет быстро проверять даже очень длинные записи чисел.

Как это устроено

Разложим число на десятки и единицы: например, 347 = 34 · 10 + 7. Часть 34 · 10 содержит десятки, а последняя цифра 7 показывает единицы. Поэтому при проверке делимости на 2, 5 и 10 достаточно исследовать последнюю цифру: десятки уже образуют целое количество десятков.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная. Действительно, любое десятковое слагаемое делится на 2, а единицы должны делиться на 2 без остатка. Цифры 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, поэтому число 538 делится на 2, а 537 — нет.

Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5, потому что именно 0 и 5 делятся на 5 среди цифр единиц. Для делимости на 10 последняя цифра обязана быть 0: десять единиц составляют один десяток. Поэтому 145 делится на 5, но не на 10, а 230 делится и на 5, и на 10.

При проверке на 3 и 9 складывают все цифры, потому что разряды числа связаны с десятками, сотнями и другими степенями числа 10, а при делении на 3 и 9 число 10 даёт такой же остаток, как 1. Значит, число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток при делении на 3 или 9. Например, для 528 сумма равна 15, поэтому число делится на 3, но не на 9.

Несколько признаков можно применять один за другим. Например, для проверки делимости на 6 сначала проверяют делимость на 2, затем на 3, потому что 6 = 2 · 3. Если нужно проверить делимость на 15, достаточно убедиться в делимости на 3 и на 5: тогда число делится на 3 · 5 = 15.

Признаки делимости натуральных чисел

В таблице собраны основные признаки. В столбце «Что проверить» указано короткое правило, а два последних столбца помогают сравнить подходящий и неподходящий примеры. Сначала найдите нужный делитель, затем выполните только указанную проверку.

Разбор задач

Задача 1

Из чисел 246, 375, 814, 920 и 1003 выберем те, которые делятся на 2, 5 и 10. Для первых трёх делителей важна только последняя цифра. Рассмотрим каждое число и распределим его в подходящие группы.

1. У числа 246 последняя цифра 6, поэтому оно делится на 2, но не делится на 5 и 10.
2. У числа 375 последняя цифра 5, поэтому оно делится на 5, но не делится на 2 и 10.
3. У числа 814 последняя цифра 4, поэтому оно делится на 2, но не делится на 5 и 10.
4. У числа 920 последняя цифра 0, поэтому оно делится на 2, 5 и 10.
5. У числа 1003 последняя цифра 3, поэтому оно не делится ни на 2, ни на 5, ни на 10.

Ответ: на 2 делятся 246, 814 и 920. На 5 делятся 375 и 920, а на 10 — только 920.

Задача 2

Определим, делятся ли числа 4386, 7215 и 9008 на 3 и на 9. Для каждого числа сначала найдём сумму цифр. Затем сравним её с признаками делимости на 3 и 9.

1. 4386: 4 + 3 + 8 + 6 = 21. Сумма 21 делится на 3, но не делится на 9, значит, число делится на 3, но не на 9.
2. 7215: 7 + 2 + 1 + 5 = 15. Сумма 15 делится на 3, но не делится на 9, поэтому число делится на 3, но не на 9.
3. 9008: 9 + 0 + 0 + 8 = 17. Сумма 17 не делится ни на 3, ни на 9, поэтому число не делится ни на 3, ни на 9.

Ответ: 4386 и 7215 делятся на 3, но не делятся на 9; 9008 не делится ни на 3, ни на 9.

Задача 3

В числе 47*5 нужно заменить звёздочку цифрой так, чтобы число делилось одновременно на 3 и 5. Последняя цифра уже равна 5, поэтому условие делимости на 5 выполнено при любой цифре вместо звёздочки. Осталось подобрать цифру по сумме цифр.

1. Сумма известных цифр равна 4 + 7 + 5 = 16, поэтому общая сумма цифр имеет вид 16 + *.
2. Для делимости на 3 сумма должна делиться на 3. Из цифр 0–9 подходят 2, 5 и 8: получаются суммы 18, 21 и 24.
3. Для делимости ещё и на 9 сумма 16 + * должна делиться на 9. Из найденных вариантов только 18 делится на 9, значит, звёздочка равна 2.

Ответ: для делимости на 3 подходят цифры 2, 5 и 8. Одновременно на 3 и 9 число делится только при цифре 2, то есть получается 4725.

Типичные ошибки

Иногда считают ноль нечётной цифрой и делают неправильный вывод о делимости на 2. Ноль является чётной цифрой, потому что 0 делится на 2 без остатка. Проверка: список последних чётных цифр выглядит так — 0, 2, 4, 6, 8.

Неверно считать, что число делится на 5, если цифра 5 встречается где-то внутри записи. Важна только последняя цифра: например, 152 не делится на 5, хотя в нём есть цифра 5. Для самопроверки смотрите не на все цифры, а только на единицы.

Признаки делимости на 3 и 9 часто путают между собой. Сумма цифр, кратная 3, может не быть кратной 9: например, 12 делится на 3, но не делится на 9. После нахождения суммы отдельно проверьте, на какое из двух чисел она делится.

Ещё одна ошибка — складывать не все цифры или складывать само число вместо его цифр. В записи 4386 нужно вычислить 4 + 3 + 8 + 6, а не использовать число 4386 как сумму. Полезно переписать цифры через знаки сложения и только потом сделать вывод.

Связь с другими темами

До изучения признаков делимости нужно уметь выполнять деление с остатком, различать делитель и кратное, а также называть чётные и нечётные числа. Эти навыки помогают понимать, почему правило даёт правильный результат. Без них трудно объяснить смысл делимости нацело.

Признаки делимости пригодятся при разложении чисел на простые множители и нахождении всех делителей. Позже они помогут быстро сокращать дроби, находить НОД и решать задачи на кратность. Чем лучше освоены признаки, тем меньше длинных делений потребуется.

Что запомнить

• Признак делимости позволяет проверить делимость без выполнения деления.
• Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 10, если оно оканчивается цифрой 0.
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Для проверки нескольких условий можно последовательно применять разные признаки делимости.