§1. Делимость чисел

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель 12: запись 12 : 4 = 3 показывает, что остатка нет. Делители помогают находить равные группы предметов и разбирать число на множители.

Кратное натурального числа — число, полученное умножением этого числа на натуральное число. Например, 18 — кратное 6, потому что 6 · 3 = 18. Если a = b · k, то b является делителем a, а a — кратным b; эта связь помогает узнавать одно понятие через другое.

Признак делимости — правило, по которому можно определить, делится ли число на другое, не выполняя деление. Например, если последняя цифра числа чётная, оно делится на 2. Такие правила позволяют быстро проверять большие числа и искать неизвестные цифры.

Простое число имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само число; например, это верно для 7. Составное число имеет больше двух натуральных делителей: у 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным, потому что у него только один делитель.

Как это устроено

Делимость связана с делением без остатка: если разделить a на b и получить целое число k, то a = b · k. Значит, число a можно составить из k одинаковых групп по b предметов, поэтому b — его делитель. И наоборот, если a = b · k, то при делении a на b получится k без остатка, а a будет кратным b.

Делители удобно искать по таблице умножения: подбирают пары множителей, произведение которых равно данному числу. Для 24 это пары 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8 и 4 · 6, поэтому делители — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Делителей конечное число: натуральный делитель не может быть больше самого числа. А кратных бесконечно много, потому что число можно умножать на 1, 2, 3 и так далее.

Признаки для 2, 5 и 10 зависят от последней цифры, потому что любое число можно представить как количество десятков плюс последняя цифра. Десятки делятся на 2 и 5, а значит, остаток при делении зависит только от единиц. Поэтому для 2 важна чётность последней цифры, для 5 — цифра 0 или 5, а для 10 — только 0.

Для делимости на 3 и 9 важна сумма цифр. Например, число 572 можно записать как 5 · 100 + 7 · 10 + 2. При делении на 3 или 9 числа 10, 100, 1000 и другие степени десяти дают остаток 1, поэтому число имеет такой же остаток, как сумма его цифр. Если эта сумма делится на 3 или 9, на то же число делится и исходное число.

Для проверки делимости на 4 достаточно последних двух цифр, потому что остальные разряды составляют число, кратное 100, а 100 делится на 4. Поэтому, например, у 1736 проверяют 36: оно делится на 4, значит, делится и 1736. Число делится на 6, если делится и на 2, и на 3: шесть равно 2 · 3, поэтому нужны оба условия, а не только одно из них.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала выбери нужное число в первом столбце, затем примени правило из второго столбца к записи числа. Пример показывает, какие цифры или их сумму проверить. Если условие признака выполнено, деление будет без остатка.

Разбор задач

Найдите все натуральные делители числа 24 и запишите первые пять кратных числа 6. В первой части нужно найти все пары натуральных множителей, дающие 24. Во второй — умножать 6 на натуральные числа по порядку, начиная с 1.

1. Проверяем пары множителей: 1 · 24 = 24 и 2 · 12 = 24.
2. Продолжаем: 3 · 8 = 24 и 4 · 6 = 24. После этой пары новые делители уже повторят найденные в обратном порядке.
3. Записываем все числа из пар: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
4. Находим пять кратных 6: 6 · 1 = 6, 6 · 2 = 12, 6 · 3 = 18, 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30.

Ответ: делители 24 — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24; первые пять кратных 6 — 6, 12, 18, 24, 30. Пары множителей позволяют не пропустить делители, а последовательное умножение — получить кратные по порядку.

Определите, делится ли 7380 на 2, 3, 5, 9 и 10. Чтобы не делить число, применим признаки: для некоторых делителей посмотрим на последнюю цифру, а для других найдём сумму цифр. Затем отдельно сравним результаты с каждым условием.

1. Последняя цифра 7380 — 0. Она чётная, поэтому число делится на 2; также последняя цифра 0 означает делимость на 5 и на 10.
2. Складываем цифры: 7 + 3 + 8 + 0 = 18.
3. Сумма 18 делится и на 3, и на 9, значит, 7380 делится на оба числа.

Ответ: 7380 делится на 2, 3, 5, 9 и 10. Каждая проверка использует свой признак, поэтому не нужно выполнять пять отдельных делений.

Найдите цифру x, если число 4x72 делится на 9 и на 4. Здесь нужно выполнить две независимые проверки: сумму всех цифр проверить для 9, а две последние цифры — для 4. Помним, что x может быть только одной из цифр от 0 до 9.

1. Для делимости на 9 сумма цифр 4 + x + 7 + 2 = 13 + x должна делиться на 9.
2. Поскольку x — цифра, сумма 13 + x находится от 13 до 22. Единственное кратное 9 в этом промежутке — 18, значит, 13 + x = 18 и x = 5.
3. Проверяем делимость на 4: две последние цифры числа — 72, а 72 делится на 4.

Ответ: x = 5, число 4572 подходит. Сначала условие на сумму цифр определило цифру, затем проверка двух последних цифр подтвердила второе условие.

Типичные ошибки

Иногда 1 называют простым числом, потому что у него есть один делитель. Но определение простого числа требует ровно двух различных натуральных делителей, а у 1 делитель только один. Проверь число по количеству делителей: у простого их два, поэтому 1 не подходит.

Если число делится на 3, это не обязательно означает, что оно делится на 9. Например, 12 делится на 3, но сумма его цифр равна 3, которая на 9 не делится. Для каждого делителя проверяй условие отдельно: сумма цифр должна делиться именно на 3 или именно на 9.

Для делимости на 4 иногда проверяют последнюю цифру или сумму всех цифр, но ни одна из этих проверок не подходит. Нужно составить число из двух последних цифр и проверить, делится ли оно на 4. Например, у 1316 проверяют 16, а не только 6 и не сумму цифр 11.

При проверке делимости на 6 бывает, что учитывают только чётность или только сумму цифр. Но число должно делиться одновременно на 2 и на 3: первое условие проверяет последнюю цифру, второе — сумму цифр. Запиши обе проверки, чтобы убедиться, что ни одна не пропущена.

Связь с другими темами

Для работы с делимостью нужно уметь умножать и делить натуральные числа, находить остаток и понимать разряды записи числа. Без этих умений трудно увидеть, почему последняя цифра или сумма цифр помогает проверить делимость.

Делители и кратные нужны при разложении чисел на простые множители и работе с дробями. С их помощью сокращают дроби и приводят их к общему знаменателю. Признаки делимости также помогают быстро проверить вычисления и находить неизвестные цифры в записи числа.

Что запомнить

• Если a = b · k, то b — делитель a, а a — кратное b.
• У натурального числа конечное число делителей и бесконечно много кратных.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• На 2, 5 и 10 число проверяют по последней цифре.
• На 3 и 9 число проверяют по сумме его цифр.
• На 4 число проверяют по двум последним цифрам.
• На 6 число делится тогда и только тогда, когда делится одновременно на 2 и на 3.