"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Делители и кратные помогают описывать, как натуральные числа делятся друг на друга без остатка. Если a делит b без остатка, то a — делитель числа b, а b — кратное числа a. У числа можно найти все делители, но кратных у него бесконечно много. Эти понятия нужны, чтобы находить общие делители и общие кратные нескольких чисел, а позже — работать с признаками делимости и дробями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число a называется делителем числа b, если b делится на a без остатка. Например, 3 — делитель 12, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает понять, можно ли разделить предметы или число на равные группы без остатка.
Число b называется кратным числа a, если b делится на a без остатка. Например, 12 кратно 3, так как 12 : 3 = 4. Делитель и кратное описывают одну связь с разных сторон: если a — делитель b, то b — кратное a.
Общий делитель нескольких чисел — это число, которое является делителем каждого из них. Например, 3 — общий делитель 12 и 18: оба числа делятся на 3 без остатка. Это понятие нужно, когда требуется найти число, на которое можно разделить несколько величин.
Общее кратное нескольких чисел — число, которое кратно каждому из них. Например, 12 — общее кратное 3 и 4, потому что 12 делится без остатка и на 3, и на 4. Такое понятие помогает находить число, подходящее сразу нескольким условиям делимости.
Связь делителя с делением без остатка следует из смысла самого действия: деление показывает, сколько раз одно число содержится в другом. Если b : a даёт натуральное число, то b можно представить как произведение a на это частное, и остатка не возникает. Например, 20 : 4 = 5, значит, 20 = 4 · 5, а 4 — делитель 20. Если же при делении остаётся остаток, делителем число не является.
Чтобы найти все делители числа, проверяй натуральные числа по порядку и оставляй только те, на которые исходное число делится без остатка. Например, у 12 проверяем 1, 2, 3 и далее: 12 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Числа, при делении на которые получается остаток, в список не входят. Проверку можно закончить на самом числе: больший делитель не даст натурального частного.
Кратные числа получают умножением исходного числа на натуральные числа. Для числа 5 это 5 · 1 = 5, 5 · 2 = 10, 5 · 3 = 15 и так далее. Каждый раз можно взять следующий натуральный множитель, поэтому ряд кратных продолжается без конца. Кроме того, если число делится на исходное без остатка, оно и есть его кратное.
У числа конечное количество делителей, потому что достаточно проверять числа от 1 до него самого. Кратных же можно получить сколько угодно: натуральных множителей бесконечно много, и каждому соответствует новое произведение. Поэтому списки делителей обычно перечисляют полностью, а список кратных часто записывают с многоточием. Не путай эти свойства между собой.
Чтобы проверить общий делитель, нужно убедиться, что он делит без остатка каждое заданное число. Для общего кратного проверяют обратное: каждое из заданных чисел должно делить выбранное число без остатка. Например, 6 — общий делитель 24 и 36, поскольку 24 : 6 и 36 : 6 выполняются без остатка. Проверка только одного числа не подтверждает общую связь.
| Что сравниваем | Делители числа | Кратные числа |
|---|---|---|
| Что означает связь с исходным числом | Исходное число делится на делитель без остатка | Кратное делится на исходное число без остатка |
| Как найти | Проверять натуральные числа делением | Умножать исходное число на натуральные числа |
| Сколько таких чисел | Конечное количество | Бесконечно много |
| Пример для числа 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 12, 24, 36, 48, 60… |
Смотри на направление связи: для делителя делят исходное число, а для кратного — само кратное. Таблица помогает сравнить способы поиска и количество чисел в каждом списке. Например, у 12 можно перечислить все делители, но кратные продолжаются дальше.
Нужно проверить числа от 1 до 18 и не пропустить ни одного делителя. Для скорости можно искать пары чисел, произведение которых равно 18: если одно число подходит, его парный множитель тоже делитель. В итоге проверим оба числа из каждой подходящей пары.
Начинаем с 1: 18 : 1 = 18, поэтому 1 — делитель.
Проверяем 2: 18 : 2 = 9, значит, 2 и 9 — делители. Проверка 3 даёт 18 : 3 = 6, поэтому 3 и 6 тоже подходят.
Числа 4, 5, 7 и 8 не подходят: при делении 18 на них получается остаток. Числа от 10 до 17 также не могут быть делителями, кроме уже учтённых парных множителей.
Добавляем само число 18, поскольку 18 : 18 = 1. Записываем подходящие числа по возрастанию.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Кратные получаются умножением 7 на натуральные числа. Чтобы получить именно первые пять, берём множители по порядку: 1, 2, 3, 4 и 5. Так ни одно из первых значений не потеряется.
Умножаем 7 на 1: 7 · 1 = 7.
Умножаем 7 на 2 и на 3: 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21.
Продолжаем: 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35. Все множители взяты подряд, поэтому список содержит пять первых кратных.
Ответ: 7, 14, 21, 28, 35.
Общие делители должны встретиться в списках делителей обоих чисел. Для общего кратного можно выбрать число, которое делится без остатка и на 24, и на 36; например, произведение 24 · 36 подходит, хотя оно не обязательно наименьшее. Проверим оба условия, чтобы подтвердить ответ.
Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Сопоставляем списки и оставляем числа, которые есть в обоих: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Это все общие делители.
Находим произведение 24 · 36 = 864. Проверяем: 864 : 24 = 36 и 864 : 36 = 24, значит, остатка нет в обоих случаях.
Ответ: общие делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12; одно общее кратное — 864.
Ошибка: назвать делителем число, при делении на которое получается остаток. Её допускают, если смотрят только на то, что число меньше исходного, и не выполняют деление. Проверяй частное и остаток: делитель должен подходить без остатка.
Ошибка: перепутать делитель и кратное. Например, если 4 делит 20, то иногда говорят, что 20 — делитель 4, хотя направление обратное. Запомни вопрос: какое число делят? 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4.
Ошибка: считать, что у числа бесконечно много делителей. Так думают, когда переносят на делители свойство бесконечного ряда кратных. Проверяй себя: натуральный делитель не может быть больше исходного числа, поэтому возможных кандидатов конечное число.
Ошибка: при поиске общего делителя или общего кратного проверить связь только с одним числом. Такой кандидат может подойти первому числу, но не подойти второму. Раздели каждое число на предполагаемый общий делитель или проверь делимость выбранного кратного на каждое из них.
Для работы с делителями и кратными нужно уверенно умножать и делить натуральные числа, а также проверять деление с остатком. Эти действия позволяют составлять списки и обосновывать, почему число подходит или не подходит. Позже понятия понадобятся при изучении признаков делимости и простых и составных чисел. Общие кратные используются при приведении дробей к общему знаменателю.
Как понять, что одно число является делителем другого?
Раздели второе число на первое. Если частное — натуральное число, а остатка нет, первое число является делителем второго. Например, 5 — делитель 20, потому что 20 : 5 = 4.
Чем делитель отличается от кратного?
Если a делит b без остатка, то a — делитель, а b — кратное. Например, 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4. Это две стороны одной связи.
Почему у числа делителей конечное число?
Делитель натурального числа не может быть больше самого числа: такое деление не даст натурального частного. Поэтому достаточно проверить числа от 1 до самого числа, а таких чисел конечное количество.
Как быстро составить список кратных числа?
Умножай число на натуральные числа по порядку: 1, 2, 3 и так далее. Например, кратные 7 начинаются так: 7, 14, 21, 28, 35. Умножители можно продолжать, поэтому список не заканчивается.
Как проверить, что число является общим делителем двух чисел?
Раздели на него каждое из двух чисел. Оно будет общим делителем, только если оба деления выполняются без остатка. Проверки для одного числа недостаточно.
1. Делители и кратные
