2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Определения и обозначения

Число делится на другое число без остатка, если результат деления — целое число, а остатка нет. Например, 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает отличать точное деление от деления с остатком. Признаки делимости позволяют сделать такую проверку быстрее.

Признак делимости на 10 — правило: число делится на 10, если его последняя цифра равна 0. Например, 230 делится на 10, а 234 — нет. Это правило нужно, чтобы определить делимость, не выполняя деление. Последнюю цифру числа также называют цифрой единиц.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Например, 45 и 70 делятся на 5, а 42 — нет. Поэтому проверять нужно именно цифру единиц. Такое правило удобно применять даже к очень большим числам.

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная — 0, 2, 4, 6 или 8. Числа, делящиеся на 2 без остатка, называются чётными. Например, 36 делится на 2, а 37 — нет. Правило помогает быстро определить, является ли многозначное число чётным.

Как это устроено

Число можно разложить на десятки и единицы: например, 347 = 34 · 10 + 7. Любое количество десятков делится на 10 без остатка, потому что в нём есть множитель 10. Значит, при делении числа на 10 остаток определяется только единицами. Остаток будет нулевым именно тогда, когда единиц нет, то есть последняя цифра — 0.

Для делимости на 5 рассмотрим такое же разложение: 347 = 34 · 10 + 7. Часть 34 · 10 делится на 5, поскольку 10 делится на 5 и десятки состоят из таких групп. Поэтому результат зависит только от цифры единиц. Из цифр от 0 до 9 на 5 без остатка делятся 0 и 5, значит, подходят числа, оканчивающиеся на одну из этих цифр.

Десятки также делятся на 2 без остатка, так как 10 делится на 2. Поэтому в записи числа 34 · 10 + 7 на результат проверки влияет только единица — в примере это 7. Чётные цифры единиц делятся на 2, а нечётные дают остаток 1. Отсюда следует, что для проверки достаточно посмотреть на последнюю цифру.

Признаки делимости на 2 и на 5 похожи тем, что оба используют цифру единиц, но набор подходящих цифр у них разный. Для делимости на 2 подходят все чётные цифры, а для делимости на 5 — только 0 и 5. Цифра 0 подходит сразу для обоих правил, а 5 — только для делимости на 5. Поэтому число, которое делится одновременно на 2 и на 5, должно оканчиваться на 0.

Чтобы проверить многозначное число, не нужно делить его столбиком и перебирать остальные цифры. Найди последнюю цифру и сравни её с условием нужного признака. Например, для 12 348 достаточно проверить цифру 8: она чётная, значит, число делится на 2. Если проверяется делимость сразу на несколько чисел, каждое условие применяют отдельно.

Признаки делимости по последней цифре

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, на какое число нужно проверить делимость. Затем посмотри на последнюю цифру и сравни её с условием в нужной строке. Один и тот же пример может подходить сразу к нескольким строкам.

Разбор задач

Задача 1. Определить, делится ли 470 на 10, на 5 и на 2

Проверим каждое деление отдельно по цифре единиц. В числе 470 последняя цифра — 0. Сопоставим её с тремя признаками делимости.

1. Для делимости на 10 нужна последняя цифра 0. Значит, 470 делится на 10.
2. Для делимости на 5 подходят 0 и 5. Значит, 470 делится на 5.
3. Для делимости на 2 нужна чётная последняя цифра. Ноль чётный, поэтому 470 делится на 2.

Ответ: 470 делится на 10, на 5 и на 2. Все три проверки сработали, потому что число оканчивается на 0. Делить его столбиком для этого не требуется.

Задача 2. Из чисел 125, 138, 240 и 317 выбрать числа, делящиеся на 5, и числа, делящиеся на 2

У каждого числа проверим только последнюю цифру. Для делимости на 5 ищем окончания 0 и 5, а для делимости на 2 — чётные цифры. Одно число может попасть в обе группы, если его последняя цифра подходит двум признакам.

1. 125 оканчивается на 5: оно делится на 5, но не на 2.
2. 138 оканчивается на 8: оно делится на 2, но не на 5.
3. 240 оканчивается на 0: оно делится и на 5, и на 2.
4. 317 оканчивается на 7: эта цифра не подходит ни для одного из двух признаков.

Ответ: на 5 делятся 125 и 240; на 2 делятся 138 и 240. Число 240 входит в обе группы, потому что ноль подходит для обоих признаков. Число 317 не попало ни в одну группу.

Задача 3. Найти все цифры, которыми можно заменить звёздочку в числе 48*, чтобы оно делилось одновременно на 2 и на 5

Звёздочка обозначает последнюю цифру, поэтому оба условия относятся к ней. Для делимости на 2 эта цифра должна быть чётной. Для делимости на 5 она должна быть 0 или 5; найдём цифру, которая подходит сразу обоим требованиям.

1. Запишем варианты для делимости на 2: 0, 2, 4, 6, 8.
2. Запишем варианты для делимости на 5: 0 и 5.
3. Общий вариант у двух списков только один — 0. Значит, вместо звёздочки нужно поставить 0.

Ответ: цифра 0, получаем число 480. Оно делится на 2, потому что оканчивается на чётную цифру, и на 5, потому что оканчивается на 0. Та же цифра подходит для делимости на 10.

Типичные ошибки

Иногда проверяют все цифры числа, например складывают их или ищут среди них ноль. Но для признаков делимости на 10, 5 и 2 важна именно последняя цифра, потому что десятки делятся на эти числа без остатка. Такая ошибка возникает, если перепутать эти правила с другими признаками делимости. Проверь себя: выдели цифру единиц и применяй только условие для неё.

Некоторые считают, что на 5 делятся только числа, оканчивающиеся на 5. При этом забывают, что окончание 0 тоже подходит: 10 делится на 5 без остатка. Ошибку легко допустить, если запомнить только один вариант. Перечисли оба окончания — 0 и 5 — и проверь число по ним.

Число, оканчивающееся на 0, порой относят только к делящимся на 10. Но ноль одновременно является чётной цифрой и входит в список окончаний для делимости на 5. Поэтому такое число делится также на 2 и на 5. Для самопроверки сопоставь 0 со всеми тремя условиями, а не только с одним.

Признаки делимости на 2 и на 5 тоже можно перепутать. Для делимости на 2 подходят все чётные цифры, а для делимости на 5 — только 0 и 5; например, окончание 6 подходит лишь для первого правила. Путаница появляется из-за того, что в обоих случаях смотрят на последнюю цифру. Проверяй её по отдельному списку для каждого делителя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о разрядах числа, значении цифры в записи и делении без остатка. Разложение на десятки и единицы объясняет, почему признаки зависят от последней цифры. Позже эти правила помогут при разложении чисел на простые множители и сокращении дробей. Они также служат основой для изучения признаков делимости на другие числа.

Что запомнить

• Число делится на 10, если оканчивается цифрой 0.
• Число делится на 5, если оканчивается цифрой 0 или 5.
• Число делится на 2, если оканчивается чётной цифрой.
• Для проверки этих признаков достаточно посмотреть на последнюю цифру числа.
• Число, оканчивающееся на 0, делится одновременно на 10, на 5 и на 2.
• Число, оканчивающееся на 5, делится на 5, но не делится на 2.