3. Признаки делимости на 9 и на 3

Определения и обозначения

Сумма цифр числа — результат сложения всех цифр, из которых записано число. Например, у числа 472 сумма цифр равна 4 + 7 + 2 = 13. Чтобы её найти, нужно выписать цифры по порядку и сложить каждую из них; ни одну цифру нельзя пропускать. Эта сумма нужна для быстрой проверки делимости, когда делить само многозначное число неудобно.

Признак делимости на 9 — правило: натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, для числа 234 сумма цифр равна 2 + 3 + 4 = 9, значит, 234 делится на 9. Слово «тогда и только тогда» означает, что правило работает в обе стороны: делится сумма — делится число, а если число делится, то и сумма делится. Признак позволяет обойтись без деления столбиком.

Признак делимости на 3 — правило: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например, у числа 124 сумма цифр равна 1 + 2 + 4 = 7, а 7 на 3 не делится, поэтому и 124 не делится на 3. Проверка суммы заменяет деление большого числа на более простую проверку. Один и тот же способ сложения цифр подходит и для 3, и для 9.

Как это устроено

Каждую цифру числа можно умножить на значение её разряда, а затем сложить полученные слагаемые. Например, 472 = 4·100 + 7·10 + 2: цифра 4 обозначает четыре сотни, 7 — семь десятков, а 2 — две единицы. В записи числа 472 слагаемые 4·100, 7·10 и 2 вместе дают исходное число. Такое представление помогает понять, почему для проверки делимости достаточно сложить цифры.

При делении на 9 число 10 даёт остаток 1, потому что 10 = 9 + 1; 100 тоже даёт остаток 1, потому что 100 = 99 + 1. То же верно для каждой следующей степени десяти: 1000 = 999 + 1 и так далее. При делении на 3 остаток тоже равен 1, ведь 10 = 3·3 + 1, 100 = 3·33 + 1, а 1000 = 3·333 + 1. Поэтому разрядные множители 1, 10, 100 и другие при делении на 3 или на 9 не меняют остаток цифры, стоящей в разряде.

Возьмём разложение 472 = 4·100 + 7·10 + 2. При делении на 9 слагаемое 4·100 имеет тот же остаток, что и 4, а 7·10 — тот же остаток, что и 7; единицы дают остаток 2. Поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы 4 + 7 + 2. Точно так же рассуждение работает при делении на 3 и для числа с любым количеством цифр: каждое разрядное слагаемое сохраняет остаток своей цифры.

Из этого следует простой способ: сложить цифры числа и проверить делимость полученной суммы на 9 или на 3. Если сумма делится на выбранное число, то и исходное число делится на него; если не делится, то не делится и исходное число. Например, чтобы выяснить, делится ли число на 9, сумма цифр должна быть не обязательно равна 9: подойдут 18, 27 и другие числа, кратные 9. Для проверки делимости на 3 сумма может быть равна 3, 6, 9, 12 и так далее.

Каждое число, которое делится на 9, делится и на 3: если сумма цифр кратна 9, то она также кратна 3. Но обратного правила нет, потому что некоторые числа делятся на 3, а на 9 — нет. Если сумма цифр большая, её можно сократить: например, для числа 6728 сумма равна 23, а затем 2 + 3 = 5. Повторное сложение помогает быстрее распознать кратность: итог 9 означает делимость на 9 и на 3, итог 3 или 6 — на 3, но не на 9.

Признаки делимости на 9 и на 3

Сначала выберите столбец с нужным делителем, затем найдите сумму цифр проверяемого числа. Сравните сумму с условием в строке «Условие делимости»: она должна делиться на 9 или на 3 без остатка. Если сумма большая, сложите её цифры ещё раз, чтобы упростить проверку.

Разбор задач

Проверить, делится ли 738 на 9 и на 3

В задаче нужно проверить одно число сразу по двум признакам. Поэтому сначала найдём общую для обеих проверок величину — сумму цифр. Затем отдельно сравним её с 9 и с 3.

1. Складываем цифры: 7 + 3 + 8 = 18.
2. Проверяем делимость суммы на 9: 18 = 9·2, значит, 18 делится на 9.
3. Проверяем делимость суммы на 3: 18 = 3·6, значит, 18 делится и на 3.

Ответ: 738 делится и на 9, и на 3. Мы проверяли сумму цифр, а не последнюю цифру числа, потому что для этих делителей работает именно такой признак.

Выбрать числа, которые делятся на 3, но не на 9

Нужно найти числа, сумма цифр которых делится на 3, но не делится на 9. Для каждого числа проведём обе проверки, чтобы не перепутать условия. Подходят только те, у которых выполнены оба требования одновременно.

1. Для 1245 сумма цифр равна 1 + 2 + 4 + 5 = 12. Сумма делится на 3, но не на 9, поэтому 1245 подходит.
2. Для 3051 сумма цифр равна 3 + 0 + 5 + 1 = 9. Она делится на 9, следовательно, число делится и на 3, но условие «не делится на 9» не выполняется.
3. Для 6728 сумма цифр равна 6 + 7 + 2 + 8 = 23. Число 23 не делится на 3, поэтому 6728 не подходит.

Ответ: 1245. У числа 3051 сумма цифр кратна 9, а у числа 6728 — не кратна даже 3.

Найти цифру a, если число 47a2 делится на 9

Вместо неизвестной цифры поставим букву и запишем сумму всех цифр числа. Чтобы 47a2 делилось на 9, эта сумма должна делиться на 9. Помним, что a — цифра, поэтому она может быть только целым числом от 0 до 9.

1. Составляем сумму цифр: 4 + 7 + a + 2 = 13 + a.
2. Ищем число, кратное 9, которое может получиться при прибавлении цифры от 0 до 9 к 13. Сумма может быть от 13 до 22; единственное кратное 9 в этом промежутке — 18.
3. Решаем 13 + a = 18, откуда a = 5. Проверяем: 4 + 7 + 5 + 2 = 18, а 18 делится на 9.

Ответ: a = 5. Проверка суммы подтверждает, что полученное число 4752 делится на 9.

Типичные ошибки

Иногда пытаются проверить делимость на 3 или на 9 по последней цифре. Так можно проверять делимость на 2, 5 или 10, но для 3 и 9 последняя цифра не даёт нужной информации: например, 12 оканчивается на 2, но делится на 3. Ошибка возникает из-за смешения разных признаков делимости. Чтобы проверить себя, сложите все цифры и проверьте полученную сумму.

Некоторые считают, что для делимости на 9 сумма цифр должна быть ровно 9. Это неверно: например, сумма 18 тоже делится на 9, потому что 18 = 9·2; подходят и другие кратные 9. Такое заблуждение появляется, если вспомнить только самый простой пример. Проверяйте, делится ли сумма на 9 без остатка, а не равна ли она числу 9.

Ещё одна ошибка — судить о делимости всего числа по одной цифре. Ни первая, ни последняя цифра не заменяет сумму цифр, поэтому число нужно проверять целиком. Например, у числа 124 сумма равна 7, и этого достаточно, чтобы понять: оно не делится ни на 3, ни на 9. Перед выводом пересчитайте, что сложили каждую цифру записи.

Делимость на 3 иногда ошибочно принимают за делимость на 9. Например, 12 делится на 3, потому что 1 + 2 = 3, но на 9 не делится. Ошибку легко допустить, потому что признаки похожи и оба используют сумму цифр. Для самопроверки отдельно проверьте сумму на 3 и на 9: первое условие не всегда означает второе.

Связь с другими темами

Для понимания признаков делимости нужны деление с остатком и понятие делимости: важно уметь определить, делится ли число без остатка. Также помогает разрядный состав числа, например запись 472 = 4·100 + 7·10 + 2. Он объясняет, почему цифры можно складывать для проверки делимости на 3 и на 9.

Признаки делимости пригодятся при разложении числа на простые множители. С их помощью можно быстро проверить, стоит ли пробовать разделить число на 3 или на 9, прежде чем выполнять более длинные вычисления. Это экономит время и упрощает поиск множителей.

Знание делимости помогает и при сокращении дробей: если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь можно упростить. Проверка по сумме цифр основана на устройстве десятичной системы счисления. В ней разряды имеют значения 1, 10, 100, 1000 и так далее, а степени десяти при делении на 3 и на 9 дают остаток 1.

Что запомнить

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.
• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.
• Если число делится на 9, оно обязательно делится на 3.
• Если число делится на 3, оно не обязательно делится на 9.
• Для проверки нужно сложить все цифры числа.
• Сумму цифр можно складывать повторно, чтобы упростить проверку.