4. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 = 3 · 4. Значит, делитель всегда связан с таким произведением, в котором один множитель — данное число, а другой — частное. Это понятие помогает проверять делимость и находить состав числа.

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само себя. Например, у числа 7 делители только 1 и 7. Других делителей нет, поэтому 7 простое. Определение позволяет отличать такие числа от тех, которые можно разделить на меньшие части.

Составное число — натуральное число, имеющее более двух различных делителей. Например, у числа 8 есть делители 1, 2, 4 и 8. Кроме 1 и самого числа, находятся 2 и 4, поэтому 8 составное. Так можно определить, что число образовано из меньших чисел.

Разложение числа на множители — представление числа в виде произведения натуральных чисел. Например, 18 = 2 · 9; разложение на простые множители — запись произведения, в котором все множители простые: 18 = 2 · 3 · 3. Первое показывает, как получить число умножением, а второе — из каких простых чисел оно складывается при умножении. Оно помогает систематично находить делители.

Как это устроено

Почему у простого числа только два делителя? По определению, простым называют число, у которого делители — 1 и само число. Если бы нашлось ещё одно число, например 3 для числа 15, то делителей было бы уже больше двух, и число стало бы составным. Делимость связана с произведением: если делитель d отличен от 1 и самого числа n, то n = d · k, где оба множителя меньше n. Такая возможность как раз исключает простоту.

Составное число можно представить произведением двух меньших натуральных чисел. Если число n составное, у него есть делитель d, отличный от 1 и n. Тогда n = d · k, где k — частное при делении n на d. Ни d, ни k не равны n: они оба меньше него. Например, 20 = 4 · 5. Это объясняет, почему наличие дополнительного делителя позволяет разбить число на множители.

Число 1 не является ни простым, ни составным. Его единственный делитель — 1, то есть оно не имеет ровно двух различных делителей, как простое. Но у него также нет более двух делителей, как у составного. Поэтому для числа 1 предусмотрен отдельный случай, и относить его к одной из этих двух групп нельзя.

Небольшое число проверяют перебором возможных делителей. Сначала исключают 1 и само число, потому что они есть у любого натурального числа больше 1. Затем проверяют числа между ними: если хотя бы одно делит число без остатка, оно составное; если таких делителей нет, число простое. Например, чтобы проверить 11, достаточно испытать 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Ни одно не делит 11 без остатка, значит, оно простое.

Разложение составного числа помогает находить его делители, потому что множители можно перемножать разными способами. Например, из 12 = 2 · 2 · 3 получаются делители 2, 3, 4, 6 и само 12, а также 1. В разложении на простые множители каждый множитель прост, но их произведение может быть составным: 2 · 3 = 6. Поэтому важно различать простые множители и составное число, которое они образуют.

Простые, составные числа и число 1

Сравнивайте числа по строкам: сначала посмотрите на количество делителей, затем проверьте, есть ли делитель между 1 и самим числом. Столбец числа 1 показывает, почему его нельзя присоединить ни к простым, ни к составным. Примеры помогают сверить результат, но для другого числа нужно выполнить проверку.

Разбор задач

Из чисел 1, 2, 9, 13, 15, 17, 21 выберем простые и составные, отдельно отметив особый случай. Для каждого числа, кроме 1, ищем делители, отличные от 1 и самого числа. Если такой делитель находится, число составное; если нет — простое. Число 1 сразу рассматриваем отдельно.

1. Число 1 имеет только один делитель, поэтому оно не простое и не составное.
2. Число 2 делится только на 1 и 2, значит, оно простое.
3. Число 9 делится на 3, а 15 делится на 3 и 5, значит, оба составные.
4. У 13 и 17 нет делителей между 1 и самим числом, значит, они простые.
5. Число 21 делится на 3 и на 7, поэтому оно составное.

Ответ: простые числа — 2, 13, 17; составные — 9, 15, 21; особый случай — 1.

Найдём все делители числа 36 и определим его вид. Удобно искать пары множителей, произведение которых равно 36. Каждая пара даёт делители: например, из пары 4 и 9 получаем и 4, и 9. Перебирать пары достаточно до тех пор, пока множители не поменяются местами.

1. Запишем пары: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6.
2. Соберём числа из пар, не повторяя 6: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
3. Кроме 1 и 36, есть другие делители, например 2 и 3. Значит, 36 составное.

Ответ: делители числа 36 — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; число составное.

Разложим 84 на простые множители и перечислим все делители. Сначала последовательно делим число на простые числа, пока не получим простое частное. Затем делители составляем из произведений найденных простых множителей. Здесь важно не пропустить ни один возможный набор множителей.

1. Делим на 2: 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21.
2. Разложим 21: 21 = 3 · 7, поэтому 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
3. Составим делители, выбирая множители 2, 3 и 7: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
4. Проверим полноту: каждому делителю соответствует произведение выбранных простых множителей, а список содержит все такие произведения.

Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7; делители числа 84 — 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Типичные ошибки

Иногда число 1 считают простым, потому что оно делится и на 1, и на само себя. Ошибка возникает, если не заметить, что это одно и то же число и делитель у него только один. Сверяйтесь с определением: у простого числа должны быть ровно два различных делителя. Поэтому 1 не простое и не составное.

Делимость на 2 не является условием составности. Число 2 само простое, а нечётные числа 9 и 15 составные, потому что делятся на 3. Ошибку допускают, когда проверяют только чётность. Чтобы проверить себя, ищите любые делители, кроме 1 и самого числа.

Делитель и кратное — разные понятия. Например, 3 — делитель числа 12, а 12 — кратное 3, потому что 3 · 4 = 12. Их путают, переставляя числа в примере; проверка проста: делитель делит данное число без остатка, а кратное получается умножением.

Найденный делитель может доказать, что число составное, но его отсутствие после одной проверки ещё не доказывает простоту. Нужно проверить возможных делителей и не забыть ни один подходящий случай. Для самопроверки перечислите делители парами множителей и проверьте, что список не содержит пропусков и повторов.

Связь с другими темами

Для работы с простыми и составными числами нужны натуральные числа, умножение и деление без остатка, а также понимание делителя и кратного. Позже разложение на простые множители поможет находить НОД и НОК и сокращать дроби. В арифметике такое разложение показывает строение делителей числа и позволяет выбирать удобный способ вычислений.

Что запомнить

• Простое число имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя.
• Составное число имеет более двух различных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Любое составное число можно представить произведением двух меньших натуральных чисел.
• Простые числа служат множителями, из которых складываются составные числа.
• Чтобы доказать, что число составное, достаточно найти его делитель, отличный от 1 и самого числа.