5. Разложение на простые множители

Определения и обозначения

Простое число — натуральное число, большее 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Например, 7 простое: других натуральных делителей у него нет. Это понятие помогает понять, какие числа можно оставить в конце разложения.

Составное число — натуральное число, большее 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 12 делится на 2, 3, 4 и 6, поэтому оно составное. Такое число можно представить как произведение меньших чисел и продолжать раскладывать.

Разложение числа на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 18 = 2 · 3 · 3. Это позволяет увидеть, из каких простых чисел составлено число, и пригодится при поиске общих делителей и кратных.

Степень простого числа — запись нескольких одинаковых множителей короче: например, 2 · 2 · 2 = 2³. Число 2 называют основанием степени, а 3 показывает, сколько раз оно выступает множителем. Такая запись делает разложение компактным и помогает не потерять повторения.

Как это устроено

Если в произведении остался составной множитель, разложение ещё не закончено: его можно заменить произведением меньших натуральных чисел. Например, в записи 2 · 15 число 15 составное, так как 15 = 3 · 5. Только когда каждый множитель прост, дальше разложить произведение нельзя и получена нужная запись.

Чтобы найти множители, дели исходное число на простые числа по очереди, начиная с наименьших. Если число делится на 2 без остатка, запиши 2 и раздели на него число; если не делится, проверь деление на 3, затем на 5 и так далее. Полученный результат тоже проверяй: он может оставаться составным и потребовать нового деления.

Например, при разложении 60 сначала удобно разделить его на 2: получим 30, затем снова на 2: получим 15. Число 15 уже не делится на 2, но делится на 3, а после деления остаётся 5. Так появляются множители 2, 2, 3 и 5, каждый из которых прост.

Процесс деления обязательно заканчивается. При делении составного числа на его делитель получается меньший натуральный множитель, поэтому мы переходим к меньшим числам, пока не дойдём до простых. Простые числа дальше раскладывать нельзя: у них нет делителей, кроме 1 и самого числа.

Когда один и тот же простой множитель встретился несколько раз, его можно записать степенью: например, 2 · 2 · 2 = 2³. Проверка проста: перемножь все множители, включая повторяющиеся, или вычисли степени, и сравни результат с исходным числом. Порядок множителей не важен, потому что от перестановки множителей произведение не меняется; для удобства их часто записывают по возрастанию.

Примеры разложения чисел на простые множители

Сначала посмотри на запись без степеней: она показывает каждый множитель отдельно и помогает проверить, не пропущен ли повтор. В последнем столбце одинаковые простые множители собраны в степени. Число 97 уже простое, поэтому его разложение состоит из него самого.

Разбор задач

Разложите число 18 на простые множители.

1. Начинаем с наименьшего простого числа 2. Число 18 делится на 2, поэтому записываем 18 = 2 · 9.
2. Проверяем оставшийся множитель 9. Он составной и делится на 3, значит, 9 = 3 · 3.
3. Все множители 2, 3 и 3 простые. Записываем 18 = 2 · 3 · 3 и проверяем: 2 · 3 · 3 = 18.

Ответ: 18 = 2 · 3 · 3.

Разложите число 72 на простые множители и запишите ответ с помощью степеней.

1. Делим 72 на 2: получаем 36. Оно тоже делится на 2, поэтому продолжаем: 36 : 2 = 18, а 18 : 2 = 9.
2. Остаток 9 составной. Делим его на 3 и получаем 3; оба множителя простые, значит, дальнейшее разложение окончено.
3. Собираем записанные множители: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Три двойки заменяем на 2³, а две тройки — на 3².
4. Проверяем: 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. Исходное число восстановилось.

Ответ: 72 = 2³ · 3².

Ученик записал разложение 90 как 2 · 3 · 15. Исправьте запись и проверьте результат.

1. Проверяем множители 2, 3 и 15. Числа 2 и 3 простые, но 15 составное: оно делится на 3 и на 5.
2. Раскладываем 15: получаем 15 = 3 · 5. Поэтому запись нужно продолжить: 90 = 2 · 3 · 3 · 5.
3. Теперь все множители простые. Две тройки можно записать степенью, а проверка даёт 2 · 3² · 5 = 2 · 9 · 5 = 90.

Ответ: правильное разложение — 90 = 2 · 3² · 5. Запись 2 · 3 · 15 давала верное произведение, но не была завершённым разложением на простые множители.

Типичные ошибки

Иногда останавливаются на произведении с составным множителем, например 2 · 3 · 15. Такая запись может давать исходное число, поэтому кажется готовой, но множитель 15 можно разложить дальше. Проверь каждый множитель отдельно: если он составной, продолжай разложение.

В разложение иногда добавляют 1, например пишут 1 · 2 · 3. Единица подходит как множитель любого числа, но не является простым числом, поэтому в разложение её не включают. Сверь каждый множитель с определением простого числа и убери единицу.

При последовательном делении легко пропустить множитель или неверно переписать частное. Тогда перемножение ответа не даст исходное число, хотя отдельные множители могут быть простыми. Записывай каждый шаг деления и в конце обязательно выполни проверку умножением.

Некоторые считают, что перестановка множителей меняет разложение: например, сравнивают 2 · 3 · 5 и 5 · 2 · 3 как разные ответы. На самом деле произведение остаётся тем же, потому что множители можно переставлять. Чтобы проверить себя, перемножь оба набора и убедись, что в каждом записаны те же простые множители.

Связь с другими темами

Для разложения нужно знать таблицу умножения и признаки делимости: они помогают быстро находить подходящие делители. Также важно различать простые и составные числа, чтобы понимать, когда остановиться. Разложение на простые множители используют при поиске наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного: общие простые множители помогают сравнивать несколько чисел и выполнять вычисления с ними.

Что запомнить

• Разложение на простые множители — это произведение простых чисел.
• В разложении составного числа не должно оставаться составных множителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Простое число в разложении может встречаться несколько раз.
• Повторяющиеся множители удобно записывать степенью.
• Проверить разложение можно умножением всех множителей.