"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Иногда нужно узнать, делится ли число на 3 или 9. Делить в столбик может быть долго и неудобно, особенно если число большое. Существуют специальные правила — признаки делимости, которые позволяют быстро проверить, делится ли число на 3 или 9, просто сложив его цифры. В этом параграфе вы узнаете, как это работает и чему нужно научиться, чтобы применять эти правила на практике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Признак делимости на 3 – это правило, которое позволяет определить, делится ли число на 3, не выполняя деление. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Этот признак помогает быстро проверять, делится ли число на 3, особенно большие числа.
Признак делимости на 9 – это правило, которое позволяет определить, делится ли число на 9, не выполняя деление. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Этот признак полезен для быстрой проверки делимости чисел на 9.
Сумма цифр числа – это результат сложения всех цифр, из которых состоит число. Например, сумма цифр числа 345 равна 3 + 4 + 5 = 12. Нахождение суммы цифр – первый шаг при применении признаков делимости на 3 и на 9.
Признак делимости на 3 работает, потому что любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых (например, 123 = 100 + 20 + 3). Число 10 делится на 3 с остатком 1, поэтому любое число вида 10n также делится на 3 с остатком 1. Это значит, что остаток от деления числа на 3 такой же, как и остаток от деления суммы его цифр на 3.
Признак делимости на 9 работает по аналогичному принципу. Число 10 делится на 9 с остатком 1, поэтому любое число вида 10n также делится на 9 с остатком 1. Следовательно, остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.
Существует тесная взаимосвязь между признаками делимости на 3 и на 9. Если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3, потому что 9 кратно 3. Однако, обратное не всегда верно: если число делится на 3, это не означает, что оно делится и на 9. Например, число 12 делится на 3, но не делится на 9.
Применение признаков делимости на 3 и 9 упрощает вычисления, особенно при работе с большими числами. Вместо того чтобы выполнять деление, достаточно сложить цифры и проверить, делится ли полученная сумма на 3 или на 9. Это экономит время и снижает вероятность ошибки.
Признаки делимости помогают решать задачи, связанные с кратностью и делимостью. Например, если нужно найти все числа, кратные 3, в заданном диапазоне, можно использовать признак делимости на 3, чтобы быстро определить, какие числа удовлетворяют условию.
| Признак | Делимость на 3 | Делимость на 9 |
|---|---|---|
| Что нужно сделать | Вычислить сумму цифр числа | Вычислить сумму цифр числа |
| Что проверить | Сумма цифр делится на 3 | Сумма цифр делится на 9 |
| Результат | Число делится на 3 | Число делится на 9 |
Эта таблица наглядно демонстрирует сходства и различия в применении признаков делимости на 3 и на 9. В обоих случаях необходимо вычислить сумму цифр, но критерии делимости различны.
Задача 1: Проверьте, делится ли число 12345 на 3 и на 9.
Задача 2: Число заканчивается на 36. Можно ли утверждать, что оно делится на 9?
Решение: Последние цифры числа – 36. В числе важно проверить сумму *всех* цифр, а не только 36. Мы знаем, что 36 делится на 9, но это не гарантирует делимость всего числа на 9. Например, число 136 делится на 9 (1 + 3 + 6 = 10, что не делится на 9), а 1036 делится на 9 (1 + 0 + 3 + 6 = 10, что не делится на 9).
Ответ: Нет, нельзя утверждать, что число делится на 9, нужно знать сумму всех цифр числа.
Задача 3: Найдите цифру x, чтобы число 2x4 делилось на 3.
Решение:
Ответ: x может быть равно 0, 3, 6 или 9.
Сложение цифр с ошибкой: Одна из самых распространенных ошибок – неправильное сложение цифр числа, особенно если число большое. Важно быть внимательным и аккуратным при вычислении суммы цифр, чтобы избежать ошибок.
Путание признаков делимости на 3 и на 9: Некоторые ученики путают признаки делимости на 3 и на 9 и применяют их неправильно. Важно помнить, что для делимости на 9 сумма цифр должна делиться на 9, а для делимости на 3 – на 3.
Проверка делимости только части числа: Иногда ученики суммируют не все цифры числа, а только некоторые из них. Важно помнить, что для применения признака делимости необходимо суммировать все цифры числа.
Неправильная интерпретация остатка от деления: Если сумма цифр не делится на 3 или 9, некоторые ученики ошибочно делают вывод о неделимости числа. Важно помнить, что остаток от деления числа на 3 или 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 3 или 9.
Предварительные знания о делении, суммировании и остатке от деления: Для понимания признаков делимости необходимо знать, что такое деление, как складывать числа и что означает остаток от деления.
Применение признаков делимости на уроках математики в дальнейшем, при упрощении дробей и решении уравнений: Признаки делимости применяются при упрощении дробей, решении уравнений и в других областях математики, что существенно облегчает вычисления.
Всегда ли можно определить делимость числа на 3, используя признак делимости?
Да, признак делимости на 3 работает всегда. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Это проверенный и универсальный способ.
Что делать, если сумма цифр очень большая?
Если сумма цифр получилась большой, можно повторить процесс: сложить цифры полученного числа, и так далее, пока не получится число, с которым легко проверить делимость на 3 или 9.
Можно ли использовать эти признаки для очень больших чисел?
Да, признаки делимости особенно полезны для больших чисел, так как они позволяют избежать трудоёмких вычислений при делении в столбик. Признаки работают для чисел любой длины.
Есть ли признаки делимости на другие числа?
Да, существуют признаки делимости и на другие числа, например, на 2, 4, 5, 8, 10 и другие. Изучение этих признаков упрощает решение различных математических задач.
Если число не делится на 3, можно ли что-то сказать про остаток от деления на 3?
Да, если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.
§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3
