"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Признаки делимости на 9 и на 3 помогают понять, делится ли число на 9 или на 3, не выполняя деление. Для проверки нужно сложить все цифры числа и посмотреть, делится ли полученная сумма на нужное число. Например, у числа 4 572 сумма цифр равна 18, а 18 делится и на 9, и на 3. Поэтому 4 572 делится на оба числа. Эти правила работают для любого натурального числа и пригодятся, например, при проверке вычислений и сокращении дробей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число делится на 9, если его можно представить как произведение 9 и целого числа. Например, 45 = 9 · 5, поэтому 45 делится на 9. Это определение помогает точно понять, что значит делимость, а не просто оценить число на глаз.
Число делится на 3, если его можно представить как произведение 3 и целого числа. Например, 21 = 3 · 7, значит, 21 делится на 3. Понимание этого определения пригодится, когда нужно проверить, подходит ли число для деления без остатка.
Сумма цифр числа — результат сложения всех цифр его записи. Например, сумма цифр числа 326 равна 3 + 2 + 6 = 11. Именно эту сумму используют в правилах проверки делимости на 3 и на 9.
Признак делимости — правило, позволяющее определить делимость числа без выполнения деления. Например, вместо того чтобы делить число на 9 столбиком, можно проверить сумму его цифр. Признак экономит время и помогает быстро отсеять числа, которые не подходят.
Чтобы понять, почему важна сумма цифр, запишем число по разрядам. Например, 572 = 5 · 100 + 7 · 10 + 2. При делении на 9 числа 10, 100 и 1000 дают остаток 1, потому что каждое из них на 1 больше некоторого числа, кратного 9. Поэтому для проверки делимости множитель 10, 100 или 1000 можно заменить на 1.
После такой замены разрядная запись превращается в сумму цифр. Например, части числа 572 при проверке на 9 дают тот же остаток, что и 5 + 7 + 2. Это работает для любого числа разрядов: каждая степень десяти при делении на 9 имеет остаток 1. Поэтому число и сумма его цифр оставляют одинаковый остаток при делении на 9.
Если остаток числа при делении на 9 равен нулю, оно делится на 9 без остатка. Поскольку у числа и суммы цифр остатки одинаковы, достаточно проверить сумму: если она делится на 9, то и исходное число делится на 9. Например, сумма цифр 4 572 равна 18, а 18 делится на 9, значит, 4 572 тоже делится на 9.
Число 9 само делится на 3: 9 = 3 · 3. Поэтому любое число, делящееся на 9, обязательно делится и на 3. Для проверки делимости на 3 рассуждение с разрядами такое же: степени десяти при делении на 3 дают остаток 1, значит, остаток числа совпадает с остатком суммы цифр.
В итоге для проверки достаточно сложить цифры числа и проверить полученную сумму. Для делимости на 9 она должна делиться на 9, а для делимости на 3 — на 3. Если сумма большая, можно снова сложить её цифры: остаток при делении на 3 или на 9 при этом не изменится. Например, из суммы 27 можно получить 2 + 7 = 9, которую легко проверить.
Чтобы пользоваться таблицей, сначала сложите все цифры числа. Затем проверьте сумму по нужному столбцу: условие для 9 строже, чем для 3. Если сумма не делится на выбранное число, то и исходное число на него не делится.
| Что проверяем | Делимость на 9 | Делимость на 3 |
|---|---|---|
| Условие по сумме цифр | Сумма цифр делится на 9 | Сумма цифр делится на 3 |
| Пример подходящего числа | Число 4 572: сумма цифр 18, делится на 9 | Число 4 572: сумма цифр 18, делится на 3 |
| Пример неподходящего числа | Число 4 571: сумма цифр 17, не делится на 9 | Число 4 571: сумма цифр 17, не делится на 3 |
Задача 1. Определите, делится ли число 342 на 9. Здесь не нужно выполнять деление: достаточно проверить сумму цифр. Если сумма окажется кратной 9, то по признаку делимости таким же свойством будет обладать и число 342.
Ответ: 342 делится на 9. Мы проверили сумму цифр, а не последнюю цифру числа, потому что окончание числа для этого признака роли не играет.
Задача 2. Определите, делится ли число 7 124 на 3 и на 9. Проверять нужно одну и ту же сумму цифр, но каждое условие рассматривать отдельно. Так мы не перепутаем два признака, которые похожи, но требуют разных делителей.
Ответ: 7 124 не делится на 3 и на 9. Сумма цифр не подошла ни для одного из двух условий, поэтому исходное число также не делится на эти числа.
Задача 3. Найдите цифру a, при которой число 5a2 делится на 9. Буква обозначает одну цифру, а значит, её значение должно быть целым числом от 0 до 9. Чтобы выбрать подходящее значение, составим сумму цифр и потребуем, чтобы она делилась на 9.
Ответ: a = 2. Проверка по сумме цифр подтверждает, что число 522 делится на 9.
Иногда для проверки смотрят только на последнюю цифру числа. Так можно ошибиться: признаки делимости на 3 и на 9 используют сумму всех цифр, а не окончание записи. Ошибку допускают, потому что для некоторых других делителей действительно важна последняя цифра. Проверьте себя: выпишите цифры числа и сложите каждую из них.
Другая ошибка — считать, что делимость на 3 обязательно означает делимость на 9. Условия похожи, но для 9 сумма цифр должна делиться именно на 9. Например, сумма цифр числа 12 равна 3: число делится на 3, но не на 9. Для самопроверки используйте отдельное условие для каждого делителя.
Не нужно требовать, чтобы сумма цифр была ровно 3 или ровно 9. Она может быть и другим кратным числом, например 18 делится и на 3, и на 9. Такая ошибка возникает, если забыть, что делимость означает отсутствие остатка, а не равенство делителю. Проверьте, делится ли сумма на нужное число без остатка.
При поиске неизвестной цифры нельзя выбирать число больше 9 или отрицательное значение. Буква в записи числа заменяет одну цифру, то есть целое число от 0 до 9 включительно. Ошибку легко заметить, если перед ответом сверить найденное значение с этим промежутком. Затем подставьте цифру и проверьте сумму ещё раз.
Для объяснения признаков нужно уметь записывать многозначное число как сумму разрядных слагаемых и находить сумму его цифр. Эти действия связывают запись числа с его делимостью. Признаки делимости помогают быстрее проверять числа и сокращать дроби: можно узнать, делятся ли числитель и знаменатель на один и тот же множитель. Тема также связана с делением с остатком, потому что сумма цифр сохраняет остаток числа при делении на 3 и на 9.
Почему для проверки делимости на 3 и на 9 складывают цифры?
При записи числа по разрядам его части имеют вид цифра, умноженная на 10, 100, 1000 и так далее. При делении этих степеней десяти на 3 или на 9 остаток равен 1, поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр.
Если число делится на 9, обязательно ли оно делится на 3?
Да. Число 9 делится на 3, поэтому любое число, которое можно представить как 9, умноженное на целое число, делится и на 3.
Если число делится на 3, обязательно ли оно делится на 9?
Нет. Например, 12 делится на 3, но не делится на 9. Значит, делимость на 3 сама по себе не гарантирует делимость на 9.
Можно ли складывать цифры несколько раз?
Да. Если сумма цифр большая, сложите цифры этой суммы, а при необходимости повторите действие. Так можно получить число, которое проще проверить на делимость на 3 или на 9.
Как найти неизвестную цифру, чтобы число делилось на 9?
Сложите известные цифры и прибавьте неизвестную цифру. Подберите её так, чтобы общая сумма делилась на 9, и проверьте, что найденное значение является цифрой от 0 до 9.
§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3
