§ 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Определения и обозначения

Натуральное число делится на другое натуральное без остатка, если его можно представить как произведение делителя и натурального числа. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Это определение помогает отличать точное деление от деления с остатком и проверять, верно ли полученный ответ.

Признак делимости на 10 — правило, по которому можно определить, делится ли число на 10, посмотрев на его запись. Число делится на 10, если оканчивается цифрой 0. Такой признак удобен, когда число большое и выполнять деление столбиком не нужно.

Признак делимости на 5 — правило проверки по последней цифре: число делится на 5, если оканчивается цифрой 0 или 5. Например, 35 делится на 5, а 37 — нет. Это правило позволяет быстро отбирать числа, кратные 5.

Признак делимости на 2 — правило проверки по последней цифре: число делится на 2, если оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6 или 8. Такие цифры называют чётными. Признак нужен, чтобы быстро определить, является ли число чётным, не проверяя остальные его цифры.

Как это устроено

Десятичная запись числа складывается из разрядных слагаемых: например, 348 = 300 + 40 + 8. Первые два слагаемых выражают сотни и десятки, а последнее — единицы. Любое количество десятков, сотен и более крупных разрядов можно записать как число, кратное 10, поэтому при проверке остаётся учесть только единицы.

При делении на 10 число, составленное из десятков и более крупных разрядов, делится без остатка. Остаток определяется только цифрой единиц: например, у числа 347 он такой же, как у 7 при делении на 10. Поэтому для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра давала остаток 0, то есть была цифрой 0.

Чтобы получить признак делимости на 5, рассмотрим разрядное слагаемое, которое состоит из десятков. Каждый десяток делится на 5, ведь 10 = 5 · 2; сотни и следующие разряды тоже делятся на 5. Значит, делимость всего числа зависит от цифры единиц: при остатке 0 это цифры 0 и 5, потому что 0 делится на 5, а 5 делится на 5.

Для делимости на 2 десятки и более крупные разряды также не мешают: каждое число десятков чётно, поскольку 10 делится на 2. Чётность всего числа поэтому совпадает с чётностью последней цифры. Цифры 0, 2, 4, 6 и 8 делятся на 2, а цифры 1, 3, 5, 7 и 9 — нет.

Сопоставим правила: на 10 делится число, оканчивающееся на 0; на 5 — оканчивающееся на 0 или 5; на 2 — оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8. Окончание 0 подходит сразу для всех трёх делителей. Окончание 5 подходит для 5, но не для 2 и 10.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Чтобы пользоваться таблицей, найди нужный делитель и сравни с указанным окончанием последнюю цифру числа. Если цифра подходит, число делится на этот делитель; если нет — не делится. Один и тот же пример может подходить сразу к нескольким строкам.

Разбор задач

Задача 1. Определите, делится ли 730 на 10, на 5 и на 2. Будем проверять каждый делитель по отдельному признаку, хотя цифру единиц можно использовать во всех трёх случаях. Последняя цифра числа 730 — 0.

1. На 10 число делится, если оканчивается на 0. У числа 730 последняя цифра 0, значит, оно делится на 10.
2. На 5 делятся числа с последней цифрой 0 или 5. У числа 730 последняя цифра 0, значит, оно делится на 5.
3. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой. Ноль чётный, поэтому 730 делится и на 2.

Ответ: 730 делится на 10, на 5 и на 2. Проверки совпали, потому что окончание 0 подходит для всех трёх признаков.

Задача 2. Из чисел 125, 248, 360 и 517 выберите те, которые делятся на 5. Для этого не требуется выполнять деление: смотрим на последнюю цифру каждого числа. Подходят окончания 0 и 5.

1. 125 оканчивается на 5, поэтому делится на 5.
2. 248 оканчивается на 8, поэтому не делится на 5.
3. 360 оканчивается на 0, поэтому делится на 5.
4. 517 оканчивается на 7, поэтому не делится на 5.

Ответ: на 5 делятся числа 125 и 360. Оба числа имеют подходящую последнюю цифру: 5 или 0.

Задача 3. Найдите все цифры вместо звёздочки, при которых число 47* делится одновременно на 2 и на 5. Сначала выпишем условия отдельно, а затем найдём цифру, подходящую сразу для обоих. Звёздочка стоит на месте последней цифры.

1. Чтобы число делилось на 2, вместо звёздочки нужно поставить одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.
2. Чтобы число делилось на 5, подходят цифры 0 и 5.
3. Общая цифра в двух наборах — 0. Значит, число должно быть 470.

Ответ: можно поставить только цифру 0. Число 470 оканчивается на 0, поэтому делится и на 2, и на 5.

Типичные ошибки

Иногда считают, что на 5 делятся только числа с последней цифрой 5. Тогда забывают числа с окончанием 0, например 40: оно делится на 5, поскольку 40 = 5 · 8. Ошибку легко проверить, сравнив окончание числа с полным признаком: подходят и 0, и 5.

При проверке делимости на 2 некоторые пытаются рассматривать все цифры числа. Это лишняя работа: десятки и более крупные разряды уже дают чётное число, поэтому решает только цифра единиц. Для самопроверки закрой остальные цифры и проверь последнюю.

Окончания для 5 и 10 иногда путают: число с последней цифрой 5 делится на 5, но не на 10. Например, 45 делится на 5, а на 10 — нет. Проверь себя: для делимости на 10 окончание должно быть только 0.

Можно ошибочно решить, что число, делящееся на 10, не делится на 2 или на 5. На самом деле оно делится на оба числа: если число равно 10 · k, то его можно записать как 2 · (5 · k) и как 5 · (2 · k). Проверь это на примере 60: оно делится и на 2, и на 5.

Связь с другими темами

Чтобы понять эти признаки, нужно уметь читать десятичную запись натурального числа и разбирать его на разряды: единицы, десятки, сотни и так далее. Также пригодится деление с остатком, поскольку признаки показывают, когда остаток равен нулю. Эти знания помогают увидеть, почему проверять нужно именно последнюю цифру.

Признаки делимости используют при поиске делителей и кратных, а также при сокращении дробей: по ним удобно быстро проверять, можно ли разделить числитель и знаменатель на 2 или 5. Позже похожие правила помогут проверять делимость на другие числа. Они экономят время и уменьшают количество вычислений.

Что запомнить

• Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
• Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
• Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.
• Для проверки этих признаков достаточно посмотреть на последнюю цифру числа.
• Если число делится на 10, оно делится и на 2, и на 5.