"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Делители и кратные помогают описывать, как натуральные числа связаны делением и умножением. Делитель делит число без остатка, а кратное получается, если умножить исходное число на натуральное. У каждого числа есть конечный список делителей, но кратных — бесконечно много. Эти понятия нужны, чтобы находить общие делители и кратные нескольких чисел, а позднее — работать с дробями, признаками делимости и задачами о повторяющихся событиях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число a называют делителем натурального числа b, если b делится на a без остатка. Например, 3 — делитель 15, потому что 15 : 3 = 5. Это определение помогает проверить, можно ли разделить число на равные группы без остатка.
Число называют кратным натурального числа, если оно получается умножением этого числа на натуральное число. Например, 20 — кратное 5, потому что 5 × 4 = 20. Так можно узнать, входит ли одно число в ряд результатов умножения другого.
Общий делитель нескольких чисел — это натуральное число, которое делит каждое из них без остатка. Например, 4 — общий делитель чисел 8 и 12: 8 : 4 = 2, а 12 : 4 = 3. Понятие помогает находить числа, на которые можно разделить каждое из данных чисел.
Общее кратное нескольких чисел — это натуральное число, которое кратно каждому из них. Например, 12 — общее кратное 3 и 4, потому что 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3. Такие числа нужны, когда требуется найти общий результат умножения для нескольких чисел.
Делимость связана с делением без остатка: если при делении натурального числа на другое остаток равен нулю, частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Поэтому, если 24 : 6 = 4, число 6 является делителем 24. Если же остаётся остаток, равное деление не получилось, и делителем это число не является.
У натурального числа конечное число делителей, потому что делитель не может быть больше самого числа: большее число не поместится в нём даже один раз целое число раз. При этом 1 и само число делят его без остатка, а остальные возможные делители находятся между ними. Например, у 12 делители можно искать только среди чисел от 1 до 12.
Кратные получают умножением исходного числа на натуральные числа: 6 × 1, 6 × 2, 6 × 3 и так далее. Каждый следующий натуральный множитель даёт новое, большее кратное, потому что исходное число положительно. Натуральных множителей бесконечно много, поэтому и кратных у любого натурального числа бесконечно много.
Чтобы найти общие делители, выписывают делители каждого числа и отмечают те, что встречаются в обоих списках. Для общих кратных поступают так же с рядами кратных: подходят числа, присутствующие в каждом ряду. Например, если перечислить кратные 4 и 6, в обоих списках встретится 12.
Число 1 делит любое натуральное число: при делении на 1 получается само число без остатка. Само число тоже делит себя, потому что результат деления равен 1. Кроме того, число кратно самому себе: его можно получить умножением на 1, например 9 × 1 = 9.
| Понятие | Как проверить или найти | Пример для 12 |
|---|---|---|
| Делитель числа | Проверить, делится ли число без остатка на предполагаемый делитель. | 3 — делитель 12, так как 12 : 3 = 4. |
| Кратное числа | Умножить число на натуральное число. | 24 — кратное 12, так как 12 × 2 = 24. |
| Общий делитель двух чисел | Найти делители каждого числа и выбрать совпадающие. | Для 12 и 18 общий делитель — 6. |
| Общее кратное двух чисел | Выписать кратные каждого числа и найти совпадающие. | Для 12 и 18 общее кратное — 36. |
Сначала определите, что требуется найти: число, которое делит данные числа, или число, которое делится на них. Затем выпишите подходящие делители или кратные и сопоставьте списки. В последнем столбце приведены примеры, поясняющие каждый способ.
Ищем все натуральные числа, на которые 18 делится без остатка. Удобно проверять пары множителей: если 18 : a = b, то оба числа a и b являются делителями. Начинаем с малых чисел и не забываем проверить 1 и само число.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Пары помогли не проверять все числа по отдельности, но полный список содержит и оба числа из каждой пары. Проверка деления без остатка подтверждает, что других делителей не пропущено.
Чтобы получить кратные, умножаем 7 на натуральные числа по порядку. Для первых пяти результатов нужны множители 1, 2, 3, 4 и 5. Умножение на 0 здесь не подходит, потому что ищем натуральные кратные.
Ответ: 7, 14, 21, 28, 35. Каждый результат делится на 7 без остатка, а порядок множителей помогает не пропустить первые значения. Продолжая умножать 7 на следующие натуральные числа, можно записывать дальнейшие кратные.
Сначала найдём делители каждого числа, чтобы выбрать совпадающие. Затем запишем несколько кратных обоих чисел и найдём хотя бы одно общее. Здесь не требуется искать наименьшее общее кратное, поэтому достаточно первого подходящего совпадения.
Ответ: общие делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12; одно общее кратное — 72. Проверка: 72 : 24 = 3 и 72 : 36 = 2, значит, 72 делится без остатка на оба числа. Списки позволяют увидеть совпадения и не спутать общий делитель с общим кратным.
Ошибка: назвать делителем число, при делении на которое остаётся остаток. Её допускают, когда смотрят только на то, что деление выполнимо, не проверяя результат. Проверь деление с остатком: делитель подходит только при нулевом остатке.
Ошибка: включить в натуральные кратные числа, полученные умножением на 0. Так бывает, если механически начать ряд множителей с нуля. В этой теме множители — натуральные числа, поэтому начинай с 1 и записывай, например, 7, 14, 21, а не 0.
Ошибка: перепутать, какое из чисел является делителем, а какое кратным. Например, если 4 — делитель 20, то 20 — кратное 4, а не наоборот. Чтобы проверить направление, спроси себя: какое число делит без остатка, а какое получается умножением?
Ошибка: записать не все делители числа и забыть 1 или само число. Обычно так случается, когда проверяют только несколько удобных вариантов и рано останавливаются. Перебери пары множителей, проверь числа от 1 до исходного и убедись, что крайние делители тоже включены.
Для этой темы нужно уметь умножать и делить натуральные числа, а также проверять деление с остатком. Позже делимость пригодится при изучении признаков делимости и простых и составных чисел. Общие делители и кратные помогают находить общий знаменатель дробей. Они также используются в задачах, где нужно определить, когда одновременно повторятся события, происходящие через разные промежутки времени.
Как проверить, является ли одно число делителем другого?
Раздели большее число на предполагаемый делитель. Если частное — натуральное число и остатка нет, то делитель подходит. Например, 20 : 4 = 5, значит, 4 — делитель 20.
Как быстро выписать все делители числа?
Проверяй деление, начиная с 1, и записывай числа, на которые исходное делится без остатка. Удобно искать делители парами: если 18 : 2 = 9, то делителями будут и 2, и 9. Не забудь проверить 1 и само число.
Почему у числа бесконечно много кратных?
Кратные получают умножением числа на натуральные числа: 7, 14, 21 и так далее. Натуральных множителей бесконечно много, а при увеличении множителя результат тоже растёт. Поэтому кратных не может быть конечное число.
Может ли число быть делителем самого себя?
Да. При делении любого натурального числа на себя получается 1 без остатка. Поэтому каждое натуральное число — делитель самого себя.
Чем общий делитель отличается от общего кратного?
Общий делитель без остатка делит каждое из нескольких чисел. Общее кратное, наоборот, делится без остатка на каждое из них. Например, для 24 и 36 число 12 — общий делитель, а 72 — общее кратное.
§ 1. Делители и кратные
