"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Для быстрой проверки не всегда нужно выполнять деление: достаточно посмотреть на последнюю цифру или найти сумму цифр числа. Такие правила называют признаками делимости. Они пригодятся, чтобы находить делители и кратные, раскладывать числа на множители, сокращать дроби и сравнивать числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель числа 20, потому что 20 : 4 = 5. Поиск делителей помогает понять, на какие равные группы можно разделить предметы или число.
Кратное числа — натуральное число, которое делится на данное число без остатка. Например, 20 — кратное 4, так как 20 : 4 = 5. Если 4 является делителем 20, то 20 является кратным 4: эти слова описывают одну связь с разных сторон.
Признак делимости — правило, которое позволяет определить делимость числа по его записи, не выполняя деление. Например, по последней цифре можно проверить делимость на 2. Признаки помогают быстро отбирать подходящие числа и экономят время на вычислениях.
Делимость числа на другое — отношение, при котором частное является натуральным числом и остатка нет. Например, 18 делится на 6, потому что частное 3 — натуральное число. Если же при делении остаётся ненулевой остаток, делимости в этом смысле нет.
При делении без остатка делимое раскладывается на равные группы: делитель показывает, сколько предметов в каждой группе или сколько групп берут, а частное показывает оставшееся число. Например, из равенства 24 : 6 = 4 следует, что 24 делится на 6, а 6 и 4 — делители числа 24. Это также можно записать умножением: 6 · 4 = 24. Поэтому делимость связана с умножением и делением: если произведение двух натуральных чисел равно данному числу, оба множителя являются его делителями.
Одно число может быть делителем разных чисел: 3 делит и 12, и 18, и 21 без остатка. А у самого числа тоже может быть несколько делителей: у 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Так происходит потому, что число можно представить произведением разных пар множителей: 12 = 2 · 6 = 3 · 4. Каждый подходящий натуральный множитель может стать делителем.
Правила для 10, 5 и 2 следуют из разрядного состава числа. Любое натуральное число можно представить как число десятков плюс последняя цифра: например, 348 = 34 · 10 + 8. Число десятков делится на 10, на 5 и на 2, поэтому результат проверки зависит от последней цифры. Для делимости на 10 она должна быть 0, на 5 — 0 или 5, а на 2 — чётной: 0, 2, 4, 6 или 8.
Для проверки делимости на 3 и 9 складывают цифры числа. Например, 348 = 3 · 100 + 4 · 10 + 8, а 100 и 10 при делении на 3 или 9 дают такой же остаток, как 1. Поэтому остаток от деления числа совпадает с остатком от деления суммы его цифр: 3 + 4 + 8 = 15. Если эта сумма делится на 3, то делится и исходное число; если она делится на 9, то число делится на 9.
Можно проверять одно число сразу по нескольким признакам, но каждый признак отвечает за свой делитель. Например, если число оканчивается на 0, оно делится и на 2, и на 5, и на 10. Если сумма его цифр делится на 9, число делится также на 3, потому что 9 делится на 3. Сначала выбери нужные делители, затем проверь соответствующую последнюю цифру или сумму цифр.
| На что проверяем делимость | Признак |
|---|---|
| На 10 | Последняя цифра числа — 0. |
| На 5 | Последняя цифра числа — 0 или 5. |
| На 2 | Последняя цифра числа чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. |
| На 3 | Сумма цифр числа делится на 3. |
| На 9 | Сумма цифр числа делится на 9. |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определи, на какое число проверяешь делимость. Для 2, 5 и 10 смотри только на последнюю цифру, а для 3 и 9 складывай все цифры. Если условие признака выполнено, число делится на выбранный делитель без остатка.
Проверим одно число по трём признакам. Для 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру числа 348. Она равна 8, поэтому сопоставим её с условиями каждого признака.
Ответ: 348 делится на 2, но не делится на 5 и 10.
Для 3 и 9 проверка по последней цифре не подходит: нужно найти сумму всех цифр. Если сумма делится на выбранное число, то и исходное число делится на него. Сравним сумму с обоими делителями.
Ответ: 7 452 делится на 3 и на 9.
Звёздочка обозначает одну цифру от 0 до 9. Чтобы число делилось на 9, должна делиться на 9 сумма его цифр. Запишем эту сумму через неизвестную цифру и проверим возможные значения.
Ответ: вместо звёздочки нужно поставить цифру 3; получаем число 432.
Иногда считают, что на 5 делятся только числа, оканчивающиеся на 5. Ошибка возникает, если запомнить лишь один вариант признака и не заметить второй. Проверка простая: у чисел, делящихся на 5, последняя цифра бывает 0 или 5.
Для 3 и 9 некоторые смотрят только на последнюю цифру, как при проверке на 2, 5 или 10. Такой способ не учитывает остальные разряды и потому не показывает делимость на 3 или 9. Чтобы проверить себя, сложи все цифры числа и проверь сумму.
Признаки для 3 и 9 похожи, поэтому их легко перепутать. Например, сумма цифр, делящаяся на 3, не обязательно делится на 9: сумма 6 подходит для проверки на 3, но не на 9. Всегда сравнивай сумму именно с тем делителем, на который проверяешь число.
Ещё одна ошибка — назвать делитель кратным или наоборот. Эти слова описывают числа в обратном порядке: 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4. Проверь себя вопросом: какое число делит другое без остатка? Оно и будет делителем.
Для этой темы нужны таблица умножения и умение делить с остатком: только так можно определить, осталось ли что-нибудь после деления. Также важно понимать разрядный состав натурального числа, то есть знать, что цифра в записи обозначает единицы, десятки, сотни и другие разряды. Именно это помогает объяснить признаки по последней цифре и сумме цифр.
Признаки делимости пригодятся при разложении чисел на множители и поиске общих делителей и кратных. Они помогают быстро заметить, можно ли сократить дробь: если числитель и знаменатель делятся на одно число, их можно разделить на него. Так простые проверки становятся полезны в более сложных вычислениях.
Может ли у числа быть несколько делителей?
Да. Например, число 12 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, поэтому все эти числа — его делители. У любого натурального числа есть как минимум два делителя: 1 и само число.
Как быстро проверить, делится ли число на 5?
Посмотри на последнюю цифру числа. Если это 0 или 5, число делится на 5 без остатка; в остальных случаях — не делится.
Почему для проверки делимости на 3 складывают цифры?
При записи числа по разрядам его можно представить как сумму цифр, умноженных на 1, 10, 100 и так далее. Каждая такая разрядная единица при делении на 3 даёт тот же остаток, что и 1, поэтому делимость числа определяется суммой его цифр.
Если число делится на 9, обязательно ли оно делится на 3?
Да, обязательно: каждое число, которое делится на 9 без остатка, делится и на 3. Это следует и из признаков: если сумма цифр делится на 9, то она делится и на 3.
Как применить сразу несколько признаков делимости?
Проверяй каждый признак отдельно и делай вывод только о соответствующем делителе. Например, чтобы число делилось и на 2, и на 5, оно должно оканчиваться одновременно чётной цифрой и цифрой 0 или 5. Значит, последняя цифра должна быть 0.
Делится или не делится?
