§ 4. Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, делители числа 12 — 1, 2, 3, 4, 6 и 12: при делении 12 на каждое из них остатка нет. Поиск делителей помогает выяснить, простое число перед нами или составное.

Простое число — натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само это число. Например, у числа 7 делители только 1 и 7. Это определение нужно, чтобы отличать числа, которые нельзя разделить на меньшие натуральные множители больше 1.

Составное число — натуральное число, большее 1, которое имеет более двух делителей. Например, у числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12, поэтому оно составное. Такие числа можно представить как произведение меньших натуральных чисел, больших 1.

Число 1 не является ни простым, ни составным: его единственный натуральный делитель — 1. Для простого числа требуется ровно два делителя, а для составного — больше двух. Это отдельный случай, который нужно помнить, классифицируя натуральные числа.

Как это устроено

Проверка числа на простоту начинается с поиска его делителей: нужно выяснить, какие натуральные числа делят его без остатка. Если делителями оказываются только 1 и само число, оно простое; если находится ещё хотя бы один делитель, оно составное. Например, проверяя 15, можно заметить, что оно делится на 3, значит, простым оно быть не может.

У простого числа нет делителей между 1 и самим числом. Поэтому его нельзя представить как произведение двух натуральных чисел, больших 1: каждый такой множитель был бы делителем числа, отличным от 1 и самого числа. Например, для 7 такого разложения нет, а 6 = 2 · 3 — пример разложения составного числа.

У составного числа есть делитель, отличный от 1 и самого числа. Если такой делитель найден, число можно представить в виде произведения этого делителя и частного от деления. Например, 12 делится на 3, а частное равно 4, поэтому 12 = 3 · 4. Оба множителя меньше 12, что и показывает его составность.

Число 2 — единственное чётное простое число. Любое чётное число больше 2 делится на 2, а также на 1 и на себя, поэтому у него не меньше трёх делителей. У числа 2 делителями являются только 1 и 2, поэтому оно простое. Нечётность сама по себе не делает число простым: например, 15 делится на 3 и 5.

Для проверки составности достаточно искать простые делители, не превосходящие квадратного корня числа. Если число составное, оно раскладывается на множители; хотя бы один из них не больше квадратного корня, иначе произведение двух множителей было бы больше исходного числа. Поэтому не требуется проверять делители до самого числа. Если ни одно простое число в этом диапазоне не делит число без остатка, оно простое.

Простые, составные числа и число 1

Сначала проверьте, больше ли число 1, а затем посмотрите на количество его делителей. Если число больше 1 и делителей ровно два, оно простое; если больше двух — составное. Столбец числа 1 помогает не относить его ошибочно ни к одной из этих групп.

Разбор задач

Определить, является ли число 17 простым или составным.

Нужно проверить, делится ли 17 на простые числа до √17. Поскольку √17 меньше 5, проверяем простые числа 2 и 3. Если ни одно из них не делит 17 без остатка, делителей между 1 и 17 нет.

1. 17 не делится на 2, потому что оно нечётное.
2. 17 не делится на 3: сумма цифр равна 1 + 7 = 8, а 8 не делится на 3.
3. Простых делителей до √17 не найдено, поэтому дополнительных делителей у 17 нет.

Ответ: 17 — простое число. Проверка только до квадратного корня достаточна, потому что у составного числа обязательно нашёлся бы множитель не больше √17.

Определить, простое ли число 91.

Для проверки нужно искать простые делители не больше √91. Так как 9² = 81, а 10² = 100, √91 находится между 9 и 10. Значит, достаточно проверить простые числа 2, 3, 5 и 7.

1. 91 не делится на 2, потому что оканчивается цифрой 1.
2. Сумма цифр 9 + 1 = 10, поэтому 91 не делится на 3; на 5 оно тоже не делится, так как не оканчивается на 0 или 5.
3. 91 делится на 7: 91 : 7 = 13. Значит, 91 = 7 · 13 и имеет делители, кроме 1 и самого числа.

Ответ: 91 — составное число. Достаточно было найти один делитель, отличный от 1 и 91.

Разложить число 180 на простые множители и определить его простые делители.

Разложение на простые множители — это запись числа в виде произведения простых чисел. Начинаем делить 180 на простое число, а затем повторяем это с частными. Продолжаем, пока не получим 1, и проверяем результат обратным умножением.

1. 180 делится на 2: 180 : 2 = 90. Частное 90 снова делится на 2: 90 : 2 = 45.
2. 45 делится на 3: 45 : 3 = 15. Затем 15 : 3 = 5.
3. 5 — простое число, поэтому делим его на 5 и получаем 1. Записываем все использованные делители: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
4. Проверяем умножением: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180. Разные простые числа в записи — 2, 3 и 5.

Ответ: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5; простые делители числа 180 — 2, 3 и 5. Повторяющиеся множители учитываются в разложении, но простыми делителями называют сами простые числа, которые делят исходное число.

Типичные ошибки

Число 1 иногда называют простым, потому что у него есть делитель. Но одного делителя недостаточно: простому числу нужны ровно два. Проверьте количество делителей: у 1 он только один, значит, это число не простое и не составное.

Нечётное число могут принять за простое, потому что оно не делится на 2. Однако оно может делиться на другие числа: например, 15 делится на 3 и 5. Проверяйте делимость не только на 2, а ищите все возможные простые делители до квадратного корня числа.

Проверка на составные числа или пропуск подходящих простых делителей может привести к неверному выводу. Например, если проверять число 91 только на 2 и 3, легко не заметить делитель 7. Составные делители тоже могут обнаружить составность, но надёжнее последовательно проверять простые числа и не пропускать их.

Перебирать делители до самого числа не нужно: это лишняя работа. У составного числа один множитель обязательно не больше квадратного корня, поэтому достаточно проверить простые числа до этой границы. Чтобы проверить себя, возведите найденную границу в квадрат и убедитесь, что она не меньше исходного числа.

Связь с другими темами

Для изучения простых и составных чисел нужно уметь находить делители натурального числа и проверять деление без остатка. Затем эти понятия помогают разлагать натуральные числа на простые множители — представлять число в виде произведения простых чисел. Такое разложение используют при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Поэтому умение распознавать простые делители пригодится в следующих темах о натуральных числах.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• Любое составное число имеет простой делитель.
• Для проверки простоты числа достаточно проверить простые делители, не превосходящие его квадратного корня.