"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Простые числа делятся без остатка только на 1 и на самих себя, а составные имеют и другие делители. Из простых чисел можно собрать любое составное натуральное число: например, 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Поэтому простые числа называют строительными блоками натуральных чисел. Чтобы проверить, простое ли число, не нужно перебирать все числа до него: достаточно проверить делители до его квадратного корня. Ещё одна загадка этой темы — пары простых чисел, отличающихся на 2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простое число — натуральное число, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у числа 7 делители — 1 и 7, поэтому оно простое. Это определение помогает отличать простые числа от всех остальных и задаёт точный способ проверки.
Составное число — натуральное число, у которого больше двух натуральных делителей. Например, число 6 делится на 1, 2, 3 и 6. Значит, оно составное: помимо 1 и самого числа, у него есть другие делители.
Число 1 не является ни простым, ни составным, поскольку имеет только один натуральный делитель — 1. Условие «ровно два делителя» для простого числа не выполняется, а делителей больше двух у единицы тоже нет. Поэтому число 1 выделяют отдельно.
Простые числа-близнецы — это два простых числа, разность которых равна 2. Например, 11 и 13 — близнецы: оба числа простые, а 13 − 11 = 2. Это название удобно для обсуждения пар простых чисел, расположенных рядом на числовой прямой через одно число.
Чтобы проверить, простое ли число, ищут числа, на которые оно делится без остатка, кроме 1 и самого себя. Например, 15 делится на 3 и на 5, поэтому оно составное; а у 13 нет таких делителей, значит, оно простое. Проверку удобно начинать с простых чисел и использовать известные признаки делимости: это сокращает число действий. Но проверка только на 2 и 3 недостаточна: например, 25 не делится ни на 2, ни на 3, но делится на 5.
Не нужно проверять делители вплоть до самого числа: достаточно искать их до квадратного корня. Если составное число n можно представить как произведение a · b, то оба множителя не могут быть больше √n, иначе их произведение было бы больше n. Значит, у составного числа обязательно найдётся делитель, не превосходящий √n. Например, для проверки 29 достаточно испытать простые числа до √29, то есть 2, 3 и 5.
Если число составное, его можно представить произведением двух меньших натуральных чисел, а затем продолжить раскладывать множители, которые ещё не простые. Например, 60 = 6 · 10, а затем 6 = 2 · 3 и 10 = 2 · 5, поэтому 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Процесс заканчивается, когда все множители простые: дальше их уже нельзя разложить на меньшие натуральные множители. Для данного числа набор простых множителей получается одним и тем же, если не учитывать их порядок.
Простые числа называют «строительными блоками» натуральных чисел, потому что каждое составное число можно получить умножением простых. Например, 18 = 2 · 3 · 3, а 35 = 5 · 7. Можно сравнить такие разложения с набором отдельных деталей: меняя количество и вид простых множителей, получают разные составные числа. Именно поэтому разложение помогает увидеть, из каких простых частей состоит число.
Простые числа не идут через равные промежутки, поэтому заранее простого правила, которое сразу перечисляет все пары простых чисел-близнецов, нет. Например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 — такие пары, ведь каждое число в них простое, а разность равна 2. Встречаются и другие пары, например 17 и 19. Вопрос о том, бесконечно ли много таких пар, остаётся открытым: пока не известно, заканчиваются ли они когда-нибудь.
| Признак | Простое число | Составное число | Число 1 |
|---|---|---|---|
| Количество натуральных делителей | Ровно два | Больше двух | Один |
| Какие делители имеются | 1 и само число | 1, само число и другие делители | Только 1 |
| Примеры | 2, 3, 7 | 4, 6, 9 | 1 |
| Можно ли разложить на простые множители | Уже является простым множителем | Да | Нет |
Сначала посмотри на количество делителей: это самый прямой признак, который разделяет три случая. Затем сверь делители и примеры, чтобы не спутать число 1 с простым числом. В последней строке учти: простое число не раскладывают дальше, а составное можно представить произведением простых чисел.
Задача 1. Определите, простое или составное число 29. Проверим простые числа, не превосходящие квадратного корня из 29. Это быстрее, чем проверять делимость на все числа от 2 до 28: если бы 29 было составным, у него нашёлся бы делитель не больше √29.
Ответ: 29 — простое число. Все возможные делители, кроме 1 и самого числа, были бы найдены при проверке простых чисел до корня, но таких делителей нет.
Задача 2. Разложите число 84 на простые множители. Будем делить число на простые делители, пока в частном не останется простое число. Начинать удобно с 2, потому что 84 чётное; далее снова проверяем, можно ли делить полученное число на 2.
Ответ: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Проверка умножением подтверждает результат: 2 · 2 · 3 · 7 = 84.
Задача 3. Найдите все простые числа-близнецы среди чисел от 1 до 30. Сначала выделим простые числа, иначе можно пропустить пары или ошибочно включить составное число. Затем среди простых чисел ищем две штуки, разность которых равна 2; оба числа пары должны лежать в заданном промежутке.
Ответ: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19). Число 5 участвует в двух парах, и это допустимо: определение не запрещает одному простому числу быть частью нескольких пар.
Иногда число 1 называют простым, потому что оно делится на себя. Но у простого числа должно быть ровно два натуральных делителя, а у 1 делитель только один. Проверь себя вопросом: сколько разных натуральных чисел делят данное число без остатка? Для единицы ответ — одно.
Проверка числа только на 2 и 3 не доказывает, что оно простое: у него могут быть другие делители. Так ошибаются, когда принимают несколько быстрых проверок за полный перебор. Например, 25 не делится на 2 и 3, но делится на 5. Чтобы проверить себя, проверь все простые числа до квадратного корня.
Перебирать делители вплоть до самого проверяемого числа не требуется. Такое действие отнимает время и может привести к случайному пропуску числа. Достаточно остановиться на квадратном корне: если делитель больше корня, парный множитель меньше корня и уже мог быть найден. Проверяй границу по квадрату: например, 5² < 29 < 6².
В разложении составного числа иногда оставляют составной множитель, например записывают 84 = 4 · 21 и останавливаются. Это ещё не разложение на простые множители, потому что 4 и 21 сами составные. Продолжай делить каждый множитель, пока все части не станут простыми. Для проверки перемножь их и убедись, что получилось исходное число.
Перед изучением простых чисел нужно уметь находить делители натурального числа и пользоваться признаками делимости на 2, 3, 5 и 10. Эти знания ускоряют проверку: например, по последней цифре можно сразу понять, делится ли число на 2 или на 5. Если признак не подходит, проверку продолжают другими возможными делителями.
Разложение на простые множители помогает находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. В разложениях удобно видеть, какие множители есть у нескольких чисел и сколько раз каждый из них повторяется. Позже понятие простого числа понадобится при изучении делимости, а сами навыки разложения пригодятся при работе с целыми числами и дробями.
Почему число 1 не относят к простым числам?
У числа 1 только один натуральный делитель — само число. У простого числа делителей должно быть ровно два: 1 и оно само.
Как быстро проверить, является ли число простым?
Проверь, делится ли число без остатка на простые числа, не превосходящие его квадратного корня. Если ни одно из них не делит число, оно простое.
До какого числа нужно проверять возможные делители?
Достаточно проверить числа до квадратного корня из проверяемого числа включительно. Если делитель больше корня, ему соответствует меньший делитель, который уже можно было проверить.
Может ли простое число быть чётным?
Да, число 2 — простое и единственное чётное простое число. Любое другое чётное число делится и на 1, и на 2, и на себя, поэтому оно составное.
Почему простые числа называют строительными блоками натуральных чисел?
Любое составное натуральное число можно представить как произведение простых чисел. Например, 84 = 2 · 2 · 3 · 7, и такое разложение единственно, если не учитывать порядок множителей.
Так ли просты эти простые числа?
